Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的⊙O與斜邊AB相切于點(diǎn)P．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)O在AC上時(shí)，試說(shuō)明2∠ACP=∠B；

（2）如圖②，AC=8，BC=6，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC外部時(shí)，求CP長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2∠ACP=∠B；（2）當(dāng)點(diǎn)O在△ABC外時(shí)，＜CP≤8．

【解析】分析：（1）根據(jù)BC與AC垂直得到BC與圓相切，再由AB與相切于點(diǎn)P，利用切線長(zhǎng)定理得到，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由等量代換即可得證；
（2）在中，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)AC與BC垂直，得到BC與相切，連接連接OP、AO，再由AB與相切，得到OP垂直于AB，設(shè)OC=x，則OP=x，OB=BCOC=6x，求出PA的長(zhǎng)，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出BO的長(zhǎng)，根據(jù)AC=AP，OC=OP，得到AO垂直平分CP，根據(jù)面積法求出CP的長(zhǎng)，由題意可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP最長(zhǎng)，即可確定出CP的范圍．

詳解：(1)當(dāng)點(diǎn)O在AC上時(shí)，OC為的半徑，

∵BC⊥OC，且點(diǎn)C在上，

∴BC與相切,

∵與AB邊相切于點(diǎn)P，

∴BC=BP，

∴

∵

∴

即2∠ACP=∠B；

(2)在△ABC中,

如圖，當(dāng)點(diǎn)O在CB上時(shí)，OC為的半徑，

∵AC⊥OC,且點(diǎn)C在上,

∴AC與相切，

連接OP、AO，

∵與AB邊相切于點(diǎn)P，

∴OP⊥AB，

設(shè)OC=x，則OP=x，OB=BCOC=6x，

∵AC=AP，

∴BP=ABAP=108=2，

在△OPA中,

根據(jù)勾股定理得：,即

解得：

在△ACO中,

∴

∵AC=AP，OC=OP，

∴AO垂直平分CP，

∴根據(jù)面積法得： 則符合條件的CP長(zhǎng)大于

由題意可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP最長(zhǎng)，

綜上,當(dāng)點(diǎn)O在△ABC外時(shí),