Question

（2012•河?xùn)|區(qū)二模）如圖，已知AD是圓O直徑，點(diǎn)C在圓上，點(diǎn)B在線段AD延長(zhǎng)線上，且∠A=∠B=30°，連接BC．
（1）證明：BC是圓O的切線；
（2）若圓O的半徑為

3

，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP，當(dāng)直線DP為圓O的切線時(shí)，求線段DP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC．欲證BC是圓O的切線，只需證明BC⊥OC；
（2）連接CD．通過(guò)相似三角形△BDP∽△BCO的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式

PD

OC

=

BD

BC

，從而求得PD的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：連接OC．
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC是圓O的切線；

（2）解：連接CD．
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴DB=DC．
又∵在Rt△ACD中，DC=AD•sin30°=

3

，
∴BD=

3

，
∵直線DP為圓O的切線，
∴DP⊥AB，則△BDP∽△BCO，
∴

PD

OC

=

BD

BC

，
∵BC=

BO2-CO2

=3，
∴PD=

BD

BC

×OC=

3

3

×

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．判定切線時(shí)，經(jīng)常作的輔助線是“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”．