Question

【題目】“8字”的性質(zhì)及應(yīng)用：

（1）如圖1，AD、BC相交于點(diǎn)O，得到一個(gè)“8字”ABCD，求證：∠A+∠B＝∠C+∠D．

（2）如圖2，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點(diǎn)E，利用（1）中的結(jié)論證明：∠E＝（∠A+∠C）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等即可證∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）根據(jù)角平分線的定義可得：∠ABE=∠EBC，∠CDE=∠EDA，再根據(jù)（1）中結(jié)論列出兩個(gè)等式，將兩個(gè)等式相加即可證出∠E＝（∠A+∠C）．

證明：（1）∵∠A+∠B=180°－∠AOB，∠C+∠D=180°－∠COD，∠AOB=∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）∵∠ABC和∠ADC的平分線相交于點(diǎn)E，

∴∠ABE=∠EBC，∠CDE=∠EDA，

由（1）的結(jié)論可知：∠A＋∠ABE=∠E＋∠EDA①，∠C＋∠CDE=∠E＋∠EBC②，

①＋②得：∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE=∠E＋∠EDA＋∠E＋∠EBC，

∴∠A＋∠C=2∠E，

∴∠E＝（∠A+∠C）.