Question

【題目】如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫．

（1）請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）連接拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得△POA，求△POA的面積；

（4）在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用配方法拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．根據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入數(shù)值計(jì)算即可求解；

（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，由于兩平行線之間的距離相等，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，可得△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，將P（2，4）代入，求出直線PM的解析式為y=x+3．再與拋物線的解析式聯(lián)立，得到方程組，解方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：（1）由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；

（2）聯(lián)立兩解析式可得：，

解得：，或．

故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）；

（3）如圖，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA

=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××

=4+﹣

=；

（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．

設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，

∵P的坐標(biāo)為（2，4），

∴4=×2+b，解得b=3，

∴直線PM的解析式為y=x+3．

由，解得，，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．