【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與y軸交于C點(diǎn),交x軸于點(diǎn)A(-2,0),B(6,0),P是該函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q,連接PC,AC.
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求線段PQ的最大值;
(3)是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P,C,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)PQ的最大值為;(3)或
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法,列出二元一次方程組求解即可得出結(jié)論;
(2)先確定出直線BC解析式,進(jìn)而得出PM,再判斷出△OAC∽△OCB,求出AC,進(jìn)而得出∠MPQ的余弦值,即可得出結(jié)論;
(3)分兩種情況,Ⅰ、當(dāng)△QPC∽△OAC時(shí),利用拋物線的對(duì)稱性即可得出結(jié)論,Ⅱ、先確定出直線CD的解析式,聯(lián)立拋物線解析式即可得出結(jié)論.
解:(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式中得,
,
∴解:,
∴拋物線解析式為;
(2)設(shè),
令x=0,則,
∴,
∵B(6,0),
∴直線BC的解析式為,
如圖1,過點(diǎn)P作PN⊥x軸于N,交BC于M,
∴點(diǎn),
∴
,
∵∠AOC=∠COB=∠CQP=∠POM=∠MDB=90°,
∵,
∴△OAC∽△OCB,
∴∠ACO=∠CBO=∠MPQ,
∴△OAC∽△OCB∽△NMB∽△QMP,
∵,
∴,
∵,
∴
∴t=3時(shí),PQ的最大值為;
(3)、①當(dāng)△QPC∽△OAC時(shí),
∴∠ACO=∠CBA=∠PCQ,
∴PC∥x軸,
由拋物線的對(duì)稱性知,點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,
∴;
②、當(dāng)△QCP∽△OAC時(shí),
∴∠CAO=∠PCQ,
∴tan∠CAO=tan∠PCQ,
如圖2,過點(diǎn)B作BD⊥BC交CP的延長(zhǎng)線于D,過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E,
∴△OBC∽△EDB,
∴,
∴,
∴OE=OB+BE=12,,
∴,
∵,
∴直線CD的解析式為①
∵②,
聯(lián)立①②解得,
(舍)或,
∴.
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【題目】一套數(shù)學(xué)題集共有100道題,甲、乙和丙三人分別作答,每道題至少有一人解對(duì),且每人都解對(duì)了其中的60道.如果將其中只有1人解對(duì)的題稱作難題,2人解對(duì)的題稱作中檔題,3人都解對(duì)的題稱作容易題,那么下列判斷一定正確的是( )
A.容易題和中檔題共60道B.難題比容易題多20道
C.難題比中檔題多10道D.中檔題比容易題多15道
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【題目】光明中學(xué)全體學(xué)生900人參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),從中隨機(jī)抽取50人的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)成績(jī)制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖,結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:
填寫下表:
中位數(shù) | 眾數(shù) | |
隨機(jī)抽取的50人的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)成績(jī)單位:分 |
估計(jì)光明中學(xué)全體學(xué)生社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)成績(jī)的總分.
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【題目】某區(qū)統(tǒng)計(jì)了有扶貧任務(wù)的人員一個(gè)月下鄉(xiāng)扶貧的天數(shù)(為整數(shù)),并制成了如下尚不完整的表格與條形統(tǒng)計(jì)圖(如圖).
(1)有扶貧任務(wù)的人員的總?cè)藬?shù)是__________,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)上級(jí)部門隨機(jī)抽查1名扶貧人員,檢查其工作情況,求抽查到的扶貧人員的扶貧天數(shù)大于7天的概率;
(3)若統(tǒng)計(jì)時(shí)漏掉1名扶貧人員,現(xiàn)將他的下鄉(xiāng)天數(shù)和原統(tǒng)計(jì)的下鄉(xiāng)天數(shù)合并成一組新數(shù)據(jù)后,發(fā)現(xiàn)平均數(shù)增大了,則漏掉的這名扶貧人員下鄉(xiāng)的天數(shù)最少是多少天.
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【題目】 如圖,大樓AB右側(cè)有一障礙物,在障礙物的旁邊有一幢小樓DE,在小樓的頂端D處測(cè)得障礙物邊緣點(diǎn)C的俯角為30°,測(cè)得大樓頂端A的仰角為45°(點(diǎn)B,C,E在同一水平直線上),已知AB=80m,DE=10m,求障礙物B,C兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)
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【題目】某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫,平均每天能售出20件,每件盈利40元。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果這種襯衫的售價(jià)每降低1元時(shí),平均每天能多售出2件.設(shè)每件襯衫降價(jià)x元.
(1)降價(jià)后,每件襯衫的利潤為_____元,銷量為_____件;(用含x的式子表示)
(2)為了擴(kuò)大銷售,盡快減少庫存,商場(chǎng)決定釆取降價(jià)措施。但需要平均每天盈利1200元,求每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?
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【題目】如圖,直線l與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象在第二象限交于B、C兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)A,連接OC,∠ACO的角平分線交x軸于點(diǎn)D.若AB:BC:CO=1:2:2,△COD的面積為6,則k的值為______.
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(1)求a,k的值;
(2)橫,縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).點(diǎn)P(m,n)為射線OA上一點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸,y軸的垂線,分別交函數(shù)y=(x>0)的圖象于點(diǎn)B,C.由線段PB,PC和函數(shù)y=(x>0)的圖象在點(diǎn)B,C之間的部分所圍成的區(qū)域(不含邊界)記為W.
①若PA=OA,求區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);
②若區(qū)域W內(nèi)恰有5個(gè)整點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出m的取值范圍.
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A.B.C.D.
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