Question

如圖，⊙O的半徑為1，如果作兩條互相垂直的直徑AB，CD，那么弦AC是⊙O的內(nèi)接正四邊形的一條邊．若以A為圓心，以1為半徑畫(huà)弧，弧與⊙O相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則弦EC是⊙O的內(nèi)接正十二邊形的一條邊，EC的長(zhǎng)為（　�。�

• A、

  3 -1

  4

• B、

  6 - 2

  4

• C、

  3 -1

  2

• D、

  6 - 2

  2

Answer 1

分析：利用正多邊形和圓的關(guān)系得到相應(yīng)的角的度數(shù)和邊的長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：由題意得∠AOC=90°，
根據(jù)勾股定理易得AC=

2

，
那么在△AEC中，AE=1，AC=

2

；
∵EC是⊙O的內(nèi)接正十二邊形的一條邊，
∴∠EAC=15°，
同理∠ACE=30°，
作EF=EC交AC于點(diǎn)F，
那么EF=EC，∠EFC=∠C=30°，
∴∠AEF=∠EAF=15°；
作EG⊥AC于點(diǎn)G，
設(shè)EC=x，
那么CG=FG=

3

2

x，
AF=EF=CE=x；
∵AF+FG+EC=AC，
∴x+

3

2

x+

3

2

x=

2

，
解得x=

6 - 2

2

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是利用正多邊形和圓的關(guān)系得到相應(yīng)的角的度數(shù)和邊的長(zhǎng)度，難點(diǎn)是作輔助線構(gòu)造等腰三角形和直角三角形求解．