Question

若一個矩形的一邊是另一邊的兩倍，則稱這個矩形為方形，如圖1，矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形．
（1）設a，b是方形的一組鄰邊長，寫出a，b的值（一組即可）．
（2）在△ABC中，將AB，AC分別五等分，連結兩邊對應的等分點，以這些連結線為一邊作矩形，使這些矩形的邊B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄的對邊分別在B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄，BC上，如圖2所示．若BC=35，BC邊上的高為30，判斷以B₁C₁為一邊的矩形是不是方形？為什么？

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形，進而舉出即可；
（2）求出△ABC∽△AB₁C₁∽△AB₂C₂∽△AB₃C₃∽△AB₄C₄，推出

B1C1

BC

=

AE

AM

=

1

5

，

B2C2

BC

=

AH

AM

=

2

5

，

B3C3

BC

=

AG

AM

=

3

5

，

B4C4

BC

=

AN

AM

=

4

5

，求出B₁C₁=7，B₂C₂=14，B₃C₃=21，B₄C₄=28，AE=5，AH=10，AG=15，AN=25，根據已知判斷即可．

解答：解：（1）根據矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形，
故答案不唯一，如a=2，b=4；

（2）以B₁C₁為一邊的矩形不是方形．
理由：過A作AM⊥BC于M，交B₁C₁于E，交B₂C₂于H，交B₃C₃于G，交B₄C₄于N，則AM⊥B₄C₄，
AM⊥B₃C₃，AM⊥B₂C₂，AM⊥B₁C₁，
∵由矩形的性質得：BC∥B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃∥B₄C₄，
∴△ABC∽△AB₁C₁∽△AB₂C₂∽△AB₃C₃∽△AB₄C₄，
∴

B1C1

BC

=

AE

AM

=

1

5

，

B2C2

BC

=

AH

AM

=

2

5

，

B3C3

BC

=

AG

AM

=

3

5

，

B4C4

BC

=

AN

AM

=

4

5

，
∵AM=30，BC=35，
∴B₁C₁=7，B₂C₂=14，B₃C₃=21，B₄C₄=28，AE=5，AH=10，AG=15，AN=25，
∴MN=GN=GH=HE=5，
∴B₁Q=B₂O=B₃Z=B₄K=5，
即B₁C₁≠2B₁Q，B₁Q≠2B₁C₁，
∴以B₁C₁為一邊的矩形不是方形．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定和矩形的性質的應用，注意：相似三角形的對應高的比等于相似比．