Question

已知：如圖△ABC內接于⊙O，OH⊥AC于H，過A點的切線與OC的延長線交于點D，∠B=30°，OH=5．請求出：
（1）∠AOC的度數；
（2）劣弧AC的長（結果保留π）；
（3）線段AD的長（結果保留根號）．

Answer 1

分析：（1）直接用圓周角定理得到∠AOC的度數；
（2）由（1）已得到圓心角的度數，再通過特殊角求出半徑，最后運用弧長公式求出劣弧AC的長；
（3）由切線的性質可得△OAD是直角三角形，而OA，∠AOC已求，利用特殊角很快就可得到AD的長．

解答：解：（1）∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°（同弧所對的圓心角等于它所對圓周角的2倍）；

（2）∵OA=OC，OH⊥AC，
∴∠AOH=

1

2

∠AOC=30°，而OH=5，
∴AH=

5

3

=

5  3

3

，則OA=

10  3

3

；
∴劣弧AC的長=

60π•  10  3 3

180

=

10  3  π

9

．

（3）∵AD是⊙O的切線，
∴∠OAD=90°，
又∵∠AOD=60°，OA=

10  3

3

，
∴AD=

3

OA=10．

點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理和切線的性質定理．同時也考查了弧長公式，記住含30度的直角三角形三邊的數量關系．