Question

已知：如圖△ABC內接于⊙O，OH⊥AC于H，過A點的切線與OC的延長線交于點D，∠B=30°，OH=2

3

．請求出：
（1）∠AOC的度數(shù)；
（2）線段AD的長（結果保留根號）；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）∠AOC與∠B是同弧所對的圓心角與圓周角，因而∠AOC=2∠B；
（2）在Rt△OAD中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出AD的值；
（3）陰影部分的面積是△OAD與扇形OAC的面積差，可據(jù)此來求陰影部分的面積．

解答：解：（1）∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°；

（2）∵∠AOC=60°，AO=CO，
∴△AOC是等邊三角形；
∵OH=2

3

，
∴AO=4；
∵AD與⊙O相切，
∴AD=4

3

；

（3）∵S_扇形OAC=

60×π×42

360

=

8

3

π，S_△AOD=

1

2

×4×4

3

=8

3

；
∴S陰影=8

3

-

8

3

π．

點評：本題主要考查了圓心角與同弧所對的圓周角的關系．不規(guī)則圖形的面積，可以轉化為幾個規(guī)則圖形的面積的和或差來求．