【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x+c(a<0)與x軸交于點A和點B(點A在原點的左側,點B在原點的右側),與y軸交于點C,OB=OC=3.
(1)求該拋物線的函數解析式;
(2)如圖1,連接BC,點D是直線BC上方拋物線上的點,連接OD,CD,OD交BC于點F,當S△COF:S△CDF=3:2時,求點D的坐標.
(3)如圖2,點E的坐標為(0,),在拋物線上是否存在點P,使∠OBP=2∠OBE?若存在,請直接寫出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)點D(1,4)或(2,3);(3)當點P在x軸上方時,點P(,);當點P在x軸下方時,點(﹣,﹣)
【解析】
(1)c=3,點B(3,0),將點B的坐標代入拋物線表達式:y=ax2+2x+3,解得a=﹣1即可得出答案;
(2)由S△COF:S△CDF=3:2得OF:FD=3:2,由DH∥CO得CO:DM=3:2,求得DM=2,而DM==2,即可求解;
(3)分點P在x軸上方、點P在x軸下方兩種情況,分別求解即可.
(1) ∵OB=OC=3,
∴點C的坐標為C(0,3),c=3,點B的坐標為B(3,0),
將點B的坐標代入拋物線表達式:y=ax2+2x+3,解得:a=﹣1,
故拋物線的表達式為:y=﹣x2+2x+3;
(2)如圖,過點D作DH⊥x軸于點H,交BC于點M,
∵S△COF:S△CDF=3:2,
∴OF:FD=3:2,
∵DH∥CO,
∴CO:DM= OF:FD=3:2,
∴DM=CO=2,
設直線BC的表達式為:,
將C(0,3),B(3,0)代入得,
解得:,
∴直線BC的表達式為:y=﹣x+3,
設點D的坐標為(x,﹣x2+2x+3),則點M(x,﹣x+3),
∴DM==2,
解得:x=1或2,
故點D的坐標為:(1,4)或(2,3);
(3)①當點P在x軸上方時,
取OG=OE,連接BG,過點B作直線PB交拋物線于點P,交y軸于點M,使∠GBM=∠GBO,
則∠OBP=2∠OBE,過點G作GH⊥BM,如圖,
∵點E的坐標為(0,),
∴OE=,
∵∠GBM=∠GBO,GH⊥BM,GO⊥OB,
∴GH= GO=OE=,BH=BO=3,
設MH=x,則MG=,
在△OBM中,OB2+OM2=MB2,即,
解得:x=2,
故MG==,則OM=MG+ GO=+,
點M的坐標為(0,4),
設直線BM的表達式為:,
將點B(3,0)、M(0,4)代入得:,
解得:,
∴直線BM的表達式為:y=x+4,
解方程組
解得:x=3(舍去)或,
將x=代入 y=x+4得y=,
故點P的坐標為(,);
②當點P在x軸下方時,如圖,過點E作EN⊥BP,直線PB交y軸于點M,
∵∠OBP=2∠OBE,
∴BE是∠OBP的平分線,
∴EN= OE=,BN=OB=3,
設MN=x,則ME=,
在△OBM中,OB2+OM2=MB2,即,
解得:,
∴,則OM=ME+ EO=+,
點M的坐標為(0,-4),
設直線BM的表達式為:,
將點B(3,0)、M(0,-4)代入得:,
解得:,
∴直線BM的表達式為:,
解方程組
解得:x=3(舍去)或,
將x=代入得,
故點P的坐標為(,);
綜上,點P的坐標為:(,)或(,) .
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=x2﹣2mx+m2+m交于A、B兩點(A在B的左側),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,拋物線的對稱軸與直線AB交于點M.
(1)當四邊形CODM是菱形時,求點D的坐標;
(2)若點P為直線OD上一動點,求△APB的面積;
(3)作點B關于直線MD的對稱點B',以點M為圓心,MD為半徑作⊙M,點Q是⊙M上一動點,求QB'+QB的最小值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC,垂足為D.給出下列四個結論:①sinα=sinB;②sinα=cosβ;③;④.其中正確的結論有____________.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】定義: 在平面直角坐標系中,如果點和都在某函數的圖象上,則稱點是圖象的一對“相關點”.例如,點和點是直線的一對相關點.
請寫出反比例函數的圖象上的一對相關點的坐標;
如圖,拋物線的對稱軸為直線,與軸交于點.
求拋物線的解析式:
若點是拋物線上的一對相關點,直線與軸交于點,點為拋物線上之間的一點,求面積的最大值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形EFGH的四個頂點分別在矩形ABCD的各條邊上,AB=EF,FG=2,GC=3.有以下四個結論:①∠BGF=∠CHG;②△BFG≌△DHE;③tan∠BFG=;④矩形EFGH的面積是4.其中一定成立的是______.(把所有正確結論的序號填在橫線上)
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【題目】“滑塊鉸鏈”是一種用于連接窗扇和窗框,使窗戶能夠開啟和關閉的連桿式活動鏈接裝置(如圖1).圖2是“滑塊鉸鏈”的平面示意圖,滑軌MN安裝在窗框上,懸臂DE安裝在窗扇上,支點B、C、D始終在一條直線上,已知托臂AC=20厘米,托臂BD=40厘米,支點C,D之間的距離是10厘米,張角∠CAB=60°.
(1)求支點D到滑軌MN的距離(精確到1厘米);
(2)將滑塊A向左側移動到A′,(在移動過程中,托臂長度不變,即AC=A′C′,BC=BC′)當張角∠C′A'B=45°時,求滑塊A向左側移動的距離(精確到1厘米).(備用數據:≈1.41,≈1.73,≈2.45,≈2.65)
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中AD∥BC,∠A=90°,AB=6,BC=10,點E為邊AD上一點,將ABE沿BE翻折,點A落在對角線BD上的點G處,連接EG并延長交射線BC于點F.
(1)如果cos∠DBC,求EF的長;
(2)當點F在邊BC上時,連接AG,設AD=x,y,求y關于x的函數關系式并寫出x的取值范圍;
(3)連接CG,如果△FCG是等腰三角形,求AD的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=60°,BC=3厘米,AC=4厘米,點P從點B出發(fā),沿B→C→A以每秒1厘米的速度勻速運動到點A.設點P的運動時間為x秒,B、P兩點間的距離為y厘米.
小新根據學習函數的經驗,對函數隨自變量的變化而變化的規(guī)律進行了探究.
下面是小新的探究過程,請補充完整:
(1)通過取點、畫圖、測量,得到了x與y的幾組值,如下表:
x(s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y(cm) | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 2.7 | 2.7 | m | 3.6 |
經測量m的值是(保留一位小數).
(2)建立平面直角坐標系,描出表格中所有各對對應值為坐標的點,畫出該函數的圖象;
(3)結合畫出的函數圖象,解決問題:在曲線部分的最低點時,在△ABC中畫出點P所在的位置.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)與x軸交于A,B兩點,頂點P(m,n).給出下列結論
①2a+c>0;
②若在拋物線上,則y1>y2>y3
③關于x的方程ax2+bx+k=0有實數解,則k>c﹣n;
④當n=﹣時,△ABP為等腰直角三角形;
其中正確結論個數有( 。﹤.
A.1B.2C.3D.4
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