Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是正方形，點(diǎn)A，C 在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B（，），P是射線OB上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得，Q是點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn).

（1）如圖（1）當(dāng)OP = 時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）如圖（2），設(shè)點(diǎn)P（，）（），的面積為S. 求S與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出當(dāng)S取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)BP+BQ = 時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)、解直角三角形可得，，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得出答案；

（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理可得，，然后根據(jù)直角三角形的面積公式可得S與x的函數(shù)關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)的解析式即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)得出，，從而得出點(diǎn)P在OB的延長線上，再根據(jù)線段的和差可得，然后同（1）的方法可得，，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)、線段的和差可得，由此即可得出答案．

（1）如圖1，過P點(diǎn)作軸于點(diǎn)G，過Q點(diǎn)作軸于點(diǎn)H

∵四邊形OABC是正方形

∴

∵

∴

在中，，

∴

∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

∴，

在和中，

∴

∴

∴

則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；

（2）如圖2，過P點(diǎn)作軸于點(diǎn)G

∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

∴

∵

∴，

∴

在中，由勾股定理得：

整理得：

∴

整理得：

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，S隨x的增大而減��；當(dāng)時(shí)，S隨x的增大而增大

則當(dāng)時(shí)，S取得最小值，最小值為9

此時(shí)

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

（3）∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

∴

∵

∴

∵四邊形OABC是正方形，且邊長

對角線

∴點(diǎn)P在OB的延長線上

∴

解得

如圖3，過P點(diǎn)作軸于點(diǎn)G，過Q點(diǎn)作軸于點(diǎn)H

同（1）可得：，

，

則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．