Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0），B（2，

3

），CD為△ABC的中線，⊙M與△ACD的外接圓，BC交⊙M于點(diǎn)N．
（1）將直線AB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得到的直線l與⊙M相切，求此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角及直線l的解析式；
（2）連接MN，試判斷MN與CD是否互相垂直平分，并說(shuō)明理由；
（3）在（1）中的直線l上是否存在點(diǎn)P，使△PAN為直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（圖2為備用圖）

Answer 1

（1）連接MD，則∠MDA=60度，當(dāng)AB繞點(diǎn)D，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得到的直線l與圓M相切時(shí)，DM⊥AB，∠MDA=90度，所以，此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角是順時(shí)針30度．未旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)D坐標(biāo)（1.5，

3

2

），可設(shè)直線與x的交點(diǎn)為P，那么PA=AD=1，則P（0，0），設(shè)出正比例函數(shù)解析式為y=kx，過(guò)點(diǎn)D，所以l的解析式為：y=

3

3

x；

（2）MN⊥CD，且與CD互相垂直平分，因?yàn)辄c(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，MN是中位線，有CD⊥AB，MN∥AB，所以MN⊥CD，同時(shí)MN平分CD，同時(shí)利用MN連線與CD的交點(diǎn)及點(diǎn)C組成的兩個(gè)三角形全等，得出CD也平分了MN；

（3）第1種情況：PA⊥AN，P（

3

4

，

3

4

）；
第2種情況：PN⊥AN，P（

9

4

，

3 3

4

）；
第3種情況：PA⊥PN，以AN為直徑的圓與直線l的交點(diǎn)有2個(gè)，
AN=

3

，
設(shè)直線l上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，

3

3

x），則PA²+PN²=AN²=3，
N點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，

3

2

），
（x-1）²+（

3

3

x）²+（x-

5

2

）²+（

3

3

x-

3

2

）²=3，
解得x=

6± 6

4

，這是P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)是

3

3

x．