Question

已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且a²+b²+c²+2ab=1，2ab（a²+b²+c²）=，一元二次方程（a+b）x²-（2a+c）x-（a+b）=0的兩根為α，β．試求2α³+β^-5-β^-1的值．

Answer 1

解：由已知，
得a²+b²+c²及2ab是方程t²-t+=0的兩根．
而方程t²-t+=0的兩根為t₁=t₂=，
∴a²+b²+c²=2ab=．
解得，
于是，題設(shè)方程可化為x²-x-1=0①．
由α，β是方程①的兩根，
則α+β=1，且．
由②得α²=α+1，
從而α³=α•α²=α（α+1）=α²+α=2α+1．
顯然β≠0，
將③兩邊分別除以β，β²．
得．
而β^-3=β^-1•β-2=（β-1）（2-β）=3β-β²-2=2β-3．
β^-5=β^-2•β^-3=（2-β）（2β-3）=7β-2β²-6=7β-2（β+1）-6=5β-8．
∴2α³+β^-5-β^-1=4（α+β）-5=-1．
分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以把a(bǔ)²+b²+c²和2ab看作是方程t²-t+=0的兩根，求得兩根后，則有a²+b²+c²-2ab=0，（a-b）²+c²=0，因此根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則它們同時(shí)為0，求得a，b，c的值，再進(jìn)一步得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系變形求解．
點(diǎn)評(píng)：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
①△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
②△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
（2）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x_l+x₂=-，x_l•x₂=．