Question

自我選做題一：
若不相等的兩個正整數(shù)的和、差、積、商之和是一個完全平方數(shù)，則稱這樣的兩個數(shù)為“智慧數(shù)”，如果這兩個數(shù)均不超過100，求這樣的“智慧數(shù)”有多少組？

Answer 1

考點：完全平方數(shù)

專題：

分析：設(shè)這兩個數(shù)分別為A、B，且B=XA（x為大于1的整數(shù)），表示出兩個正整數(shù)的和、積、商之和，可得出推得X必是一完全平方數(shù)，即B是A的某完全平方數(shù)倍，在100范圍內(nèi)尋找即可．

解答：解：令B=XA （X＞1的整數(shù)），
則兩個正整數(shù)的和、積、商之和S=A+B+B-A+A×B+

B

A

=2XA+XA²+X=X（A+1）²，
∵這兩個正整數(shù)的和、積、商之和是一個完全平方數(shù)，
∴X必是一完全平方數(shù)，即B是A的某完全平方數(shù)倍．
100以內(nèi)1以上的完全平方數(shù)共9個：
4、9、16、25、36、49、64、81、100，
B是A的100、81、64倍的分別有1組：（1，100）、（1、81）、（1、64）；
B是A的49倍的有2組：（1，49）、（2，98）；
B是A的36倍的有2組：（1，36）、（2，72）；
B是A的25倍的有[100/25]=4組，（1，25）、（2，50）、（3、75）、（4，100）；
B是A的16倍的有[100/16]=6組，（1，16）、（2，32）、（3，48）、（4，64）、（5，80）、（6，96）；
B是A的9倍的有[100/9]=11組；
4倍的有[100/4]=25組；
綜上可得：共有3+2+2+4+6+11+25=53組．
即如果這兩個數(shù)均不超過100，求這樣的“智慧數(shù)”有53組．
注意（[]表示取整計算）．

點評：本題考查了完全平方數(shù)的知識，解答本題關(guān)鍵是設(shè)出這兩個數(shù)及這兩個數(shù)的關(guān)系，難點在于得出X的值后計算每組符合題意的數(shù)量，注意分類討論，此題難度較大．