Question

如圖，矩形OABC的長OA=

3

，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：∠PCB=

30

度，P點(diǎn)坐標(biāo)為

（

3

2

，

3

2

）

；
（2）若P、A兩點(diǎn)在拋物線y=-

4

3

x2+bx+c上，求b，c的值；
（3）若直線y=kx+m平行于CP，且于（2）中的拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求k，m的值；
（4）在（2）中拋物線CP段（不包括C，P點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形MCAP的面積最大？若存在求此時(shí)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角△OAC中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出∠CAO的度數(shù)，以及∠OCA的度數(shù)．而∠PCA=∠OCA，∠BCA=∠CAO，則∠PCB就可以求出．在直角△PCG中，根據(jù)三角函數(shù)可以求得CG，PG的長，從而得到P的坐標(biāo)．
（2）P、A兩點(diǎn)的坐標(biāo)容易得到，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．求出b，c的值．C點(diǎn)的坐標(biāo)已知，代入函數(shù)的解析式，就可以判斷是否在函數(shù)的圖象上．
（3）根據(jù)點(diǎn)P及點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出直線PC的解析式，這樣可得出k的值，再由此直線與y=-

4

3

x2+bx+c有且只有一個(gè)交點(diǎn)，利用根的判別式可得出m的值．
（4）過點(diǎn)M作MF⊥x軸分別交CP、CB和x軸于E、N和F，過點(diǎn)P作PG⊥x軸交CB于G，根據(jù)S_△CMP=s_△CME+S_△PME，四邊形MCAP的面積就可以表示成OF的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，就可以求出最值．

解答：解：（1）過點(diǎn)P作PG⊥x軸交CB于G．
tan∠CAO=

OC

OA

=

3

3

，
∴∠CAO=30°，
∴PCA=60°，
又∵∠ACB=30°，
∴∠PCB=30°，
在RT△PCM中，PG=

1

2

PC=

1

2

OC=

1

2

，GC=

3

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）．
綜上可得：∠PCB=30°，P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）．

（2）把P(

3

2

，

3

2

)與A(

3

，0)分別代入y=-

4

3

x2+bx+c，
解得：b=

3

，c=1，
∴y=-

4

3

x2+

3

x+1，

（3）由P(

3

2

，

3

2

)，C（0，1）可得直線CP：y=

3

3

x+1，
∵直線y=kx+m平行于CP，
∴k=

3

3

，
∵y=

3

3

x+m與y=-

4

3

x2+

3

x+1只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴-

4

3

x2+

3

x+1=

3

3

x+m有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根(

2 3

3

)2-4×

4

3

×(m-1)=0，
解得：m=

5

4

；…（3分）

（4）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形MCAP的面積最大．
∵△ACP面積為定值，
∴要使四邊形MCAP的面積最大，只需使△PCM的面積最大．
過點(diǎn)M作MF⊥x軸分別交CP、CB和x軸于E、N和F，過點(diǎn)P作PG⊥x軸交CB于G．

S_△CMP=s_△CME+S_△PME=

1

2

ME•CG=

3

4

ME
設(shè)M（x₀，y₀），
∵∠ECN=30°，CN=x₀，
∴EN=

3

3

x₀
∴ME=MF-EF=-

4

3

x₀²+

2 3

3

x₀
∴S_△CMP=-

3

3

x₀²+

1

2

x
∵a=-

3

3

＜0，
∴S有最大值．
當(dāng)x₀=

3

4

時(shí)，S的最大值是

3

16

，
∵S_△MCAP=S_△CPM+S_△ACP
∴四邊形MCAP的面積的最大值為

9 3

16

此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

4

，

3

2

）
所以存在這樣的點(diǎn)M（

3

4

，

3

2

），使得四邊形MCAP的面積最大，其最大值為

9 3

16

．

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、翻折變換及二次函數(shù)最值問題，是一道難度較大的綜合題，注意掌握最值問題基本的解決思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．