Question

18．已知關(guān)于x的一元二次方程mx²-（m+3）x+3=0．
（1）證明：當m取不等于0的任何數(shù)時，此方程總有實數(shù)根；
（2）m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．

Answer 1

分析 ①首先判定m不等于0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷根的情況；
②首先利用因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)方程兩根為不相等的正整數(shù)根即可求出m的值．

解答 解：①∵一元二次方程mx²-（m+3）x+3=0，
∴m≠0，
∴△=（m+3）²-12m=（m-3）²≥0，
∴當m取不等于0的任何數(shù)時，此方程總有實數(shù)根；
②∵mx²-（m+3）x+3=0，
∴（x-1）（mx-3）=0，
∴x₁=1，x₂=$\frac{3}{m}$，
∴當m=1時，x₂=3．
故當m為1時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．

點評 本題主要考查了根的判別式以及一元二次方程的定義的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；
③當△＜0時，方程無實數(shù)根．