Question

【題目】如圖，已知B（0，b）（b＞0）是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）及點(diǎn)B，將Rt△ABO折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，折痕分別交y軸、直線AB于點(diǎn)E、F，連接OF．

（1）當(dāng)b＝2時(shí)，求直線l的函數(shù)解析式；

（2）請(qǐng)用含有字母b的代數(shù)式表示線段OF的長(zhǎng)，并說(shuō)明線段OF與線段AB的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖，在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至OQ，連結(jié)BQ、PQ，PQ交y軸于點(diǎn)T，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

①當(dāng)△OPQ的面積最小時(shí)，求T的坐標(biāo)；

②若△OPB是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的t的值；

③若△OQB是直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+2；（2）OF＝，OF＝AB，見(jiàn)解析；（3）①T（0，），②t的值為或，③t的值為1﹣.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

（2）利用勾股定理求出AB，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（3）①根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)OP⊥AB時(shí)，△OPQ的面積最小，求出P，Q的坐標(biāo)，求出直線PQ的解析式即可解決問(wèn)題；②分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題；③如圖5中，取OB的中點(diǎn)G，連接BG．設(shè)P（t，-2t+2），求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，根據(jù)QG=1構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（1）如圖1中，

由題意A（1，0），B（0，2），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，則有，

解得，

∴直線l的解析式為y＝﹣2x+2；

（2）如圖1中，∵OB＝b，OA＝1，

∴AB＝，

∵EF垂直平分線段BO，

∴BF＝FO，

∵EF∥OA，

∴BF＝AF，

∴OF＝AB＝；

（3）①如圖2中，作PE⊥x軸于E，QF⊥x軸于F．

∵△POQ是等腰直角三角形，

∴當(dāng)OP的值最小時(shí)，△POQ的面積最小，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)OP⊥AB時(shí)，△OPQ的面積最小，

∵直線OP的解析式為y＝x，

由，

解得，

∴P（，），

∴OE＝，PE＝，

∵∠PEO＝∠QFO＝∠POQ＝90°，

∴∠POE+∠QOF＝90°，∠POE+∠OPE＝90°，

∴∠QOF＝∠OPE，

∵OP＝OQ，

∴△OEP≌△QFO（AAS），

∴QF＝OE＝，OF＝PE＝，

∴Q（﹣，），

∴直線PQ的解析式為y＝﹣x+，

∴T（0，）；

②如圖3中，當(dāng)BP＝OB＝2時(shí)，作PE⊥OA于E．

∵PE∥OB，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴PE＝，AE＝，

∴OE＝1﹣＝．

∴t＝．

如圖4中，當(dāng)PB＝PA時(shí)，OP＝PB滿(mǎn)足條件，此時(shí)t＝．

綜上所述，滿(mǎn)足條件的t的值為或；

③如圖5中，取OB的中點(diǎn)G，連接BG．設(shè)P（t，﹣2t+2），

易知Q（2t﹣2，t），G（0，1）當(dāng)∠OQB＝90°時(shí)，

∵GB＝OG，

∴QG＝OB＝1，

∴（2t﹣2）2+（t﹣1）2＝1，

解得t＝1﹣或1+（舍棄），

∴滿(mǎn)足條件的t的值為1﹣．