Question

如圖1，已知拋物線C₁：y=a（x-1）²+4與直線C₂：y=x+b相交于點A（3，0）和點B．
（1）求a、b的值；
（2）若P（t，y₁），Q（2，y₂）是拋物線C₁上的兩點，且y₁＜y₂，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）如圖2，質(zhì)地均勻的正四面體骰子的各個面上依次標有數(shù)字-1、1、3、4．隨機拋擲這枚骰子兩次，把第一次著地一面的數(shù)字m記做P點的橫坐標，第二次著地一面的數(shù)字n記做P點的縱坐標．則點P（m，n） 落在圖1中拋物線C₁與直線C₂圍成區(qū)域內(nèi)（圖中陰影部分，含邊界）的概率是多少？

Answer 1

解：（1）把A（3，0）代入拋物線的解析式得：4a+4=0，解得：a=-1；
把（3，0）代入直線的解析式得：3+b=0，解得：b=-3；

（2）拋物線的解析式是：y=-（x-1）²+4．
在解析式中，令x=2，解得y₂=3．
在拋物線中，令y=3，解得：x=2或1．
則當t＜1或t＞3時，y₁＜y₂；

（3）解方程組：，解得：x=3或-2
則B的橫坐標是-2．
當點在陰影區(qū)域時，橫坐標x滿足：-2≤x≤3
P點的坐標用樹形圖表示：

當x=-1時，代入拋物線的解析式得：y=0，代入直線的解析式得：y=-4．
故點（-1，-1）在區(qū)域內(nèi)；
當x=1時，代入拋物線的解析式得：y=4，代入直線的解析式得：y=-2，則（1，-1）（1，1）（1，3）（1，4）在區(qū)域內(nèi)；
當x=3時，代入拋物線解析式得：y=0，代入直線解析式得：y=0．
故在區(qū)域內(nèi)的點有：（-1，-1），（1，-1）（1，1）（1，3）（1，4）．共5個．
則落在圖1中拋物線C₁與直線C₂圍成區(qū)域內(nèi)（圖中陰影部分，含邊界）的概率是5÷16=．
分析：（1）把A的坐標代入拋物線與直線的解析式即可求得a，b的值；
（2）首先求得y₂=3的值，然后拋物線上縱坐標是3的點的橫坐標的值，根據(jù)拋物線的增減性即可確定；
（3）首先利用列舉法求得所有的情況有幾種，然后根據(jù)函數(shù)的值確定每個點是否在區(qū)域內(nèi)．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象上的點的特點，以及列舉法求概率，正確確定點是否在區(qū)域內(nèi)是解題的關鍵．