如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(O,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn),連接PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.
①求證:PB=PS;
②判斷△SBR的形狀.
分析:(1)已知點(diǎn)B坐標(biāo),可求得OB即CD或EF的長(zhǎng),再由矩形的面積可得CF的長(zhǎng),由此確定C、F的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.
(2)①首先根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后求出PB的長(zhǎng)(可由勾股定理或兩點(diǎn)間的距離公式求得),再和P到x軸的距離進(jìn)行比較即可.
②根據(jù)①的結(jié)論,能推出QB=QR,那么等腰△QBR的兩底角相等(∠1=∠2,見(jiàn)解答部分的圖示),再由QR∥y軸容易證得∠2、∠3的等量關(guān)系,同理,也能判斷出∠5=∠PBS,這四個(gè)相鄰角的總和為180°,易得∠SBR的度數(shù),由此判定△SBR的形狀.
解答:解:(1)∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0.2),
∴OB=2,
∵矩形CDEF面積為8,
∴CF=4.
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2).F點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2).
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.
其過(guò)三點(diǎn)A(0,1),C(-2.2),F(xiàn)(2,2).
1=c
2=4a-2b+c
2=4a+2b+c
,
解這個(gè)方程組,得a=
1
4
,b=0,c=1
∴此拋物線的解析式為 y=
1
4
x2+1.

(2)①過(guò)點(diǎn)B作BN⊥BS,垂足為N.
∵P點(diǎn)在拋物線y=
1
4
x2十1上.可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,
1
4
a2+1).
∴PS=
1
4
a2+1,OB=NS=2,BN=a.
∴PN=PS-NS=
1
4
a2-1;
在Rt△PNB中.
PB2=PN2+BN2=(
1
4
a2-1)2+a2=(
1
4
a2+1)2
∴PB=PS=
1
4
a2+1.
②根據(jù)①同理可知BQ=QR.
∴∠1=∠2,
又∵∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
同理∠SBP=∠5.
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90°.
∴△SBR為直角三角形.
點(diǎn)評(píng):該題是函數(shù)與幾何的綜合題,涉及了函數(shù)解析式的確定、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí).(2)的兩問(wèn)難度遞增,只要合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可找出題目的突破點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(2,1),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn)D在拋物線上,且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)連接OA、AB,如圖2,在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△OBP與△OAB相似?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,點(diǎn)D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8:
(1)此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若點(diǎn)P為所求拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),試判斷以點(diǎn)P為圓心,PB為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)P在拋物線上且與點(diǎn)A不重合,直線PB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,過(guò)點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為N、M,連接PO、QO.求證:△QMO∽△PNO.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•黔南州)如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B,且其面積為8,F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn),連結(jié)PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.
①求證:PB=PS;
②試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q、R、M為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,請(qǐng)找出M點(diǎn)的位置;若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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(1)求拋物線的解析式;
(2)連接OA,AB,如圖2,在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△OBP與△OAB相似?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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