【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為3,EF 分別是AB,BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.△DAE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.

1)求證:EF=FM;

2)當(dāng)AE=1時,求EF的長.

【答案】(1)證明見解析(2)

【解析】試題分析:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,DE=DM∠EDM=90°,因為∠EDF=45°,所以∠FDM=∠EDM=45°,通過證明△DEF≌△DMF得到EF=MF

2)設(shè)EF=MF=x,則BF=4-x,BE=2,在Rt△EBF中,由勾股定理得到關(guān)于x的等式,解得x的值即可.

試題解析:(1)證明:∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM

∴DE=DM,∠EDM=90°,

∴∠EDF+∠FDM=90°,

∵∠EDF=45°,

∴∠FDM=∠EDM=45°,

△DEF△DMF中,

DE=DM,∠EDF=∠MDFDF=DF

∴△DEF≌△DMFSAS),

∴EF=MF;

2)設(shè)EF=MF=x, ∵AE=CM=1,且BC=3,

∴BM=BC+CM=3+1=4,

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x,

∵EB=AB-AE=3-1=2,

Rt△EBF中,由勾股定理得EB+BF=EF, 即2+4-x=x

解得:x=, 則EF=

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