Question

已知在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且關(guān)于x的一元二次方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有兩個相等的實數(shù)根．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若a：b=3：4，解這個方程．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：計算題

分析：（1）先把方程化為一般式（b+c）x²-2ax+c-b=0，再根據(jù)判別式的意義得到△=（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，化簡得a²+b²=c²，然后根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷；
（2）設(shè)a=3t，b=4t，根據(jù)勾股定理計算出c=5t，則原方程化為9x²-6x+1=0，然后利用因式分解法解方程．

解答：解：（1）方程整理為（b+c）x²-2ax+c-b=0，
根據(jù)題意得△=（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，
則a²+b²=c²，
所以△ABC為直角三角形，∠C=90°；
（2）設(shè)a=3t，b=4t，
則c=

a2+b2

=5t，
所以原方程化為9t•x²-6t•x+t=0，即9x²-6x+1=0，
所以（3x-1）²=0，
所以x₁=x₂=

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．