Question

19．如圖，⊙O直徑AB與弦AC的夾角∠A=30°，過C點(diǎn)的切線與AB的延長線交于點(diǎn)P．
（1）求證：CA=CP；
（2）已知⊙O的半徑r=$\sqrt{6}$，求圖中陰影部分的面積S．

Answer 1

分析 （1）求出∠ACO=∠A=30°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠COB=60°，求出∠P，即可得出答案；
（2）解直角三角形求出PC，求出△OCP和扇形COB的面積，即可得出答案．

解答 （1）證明：連接OC，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC為⊙O的切線，
∴∠OCP=90°，
∴∠P=30°，
∴∠A=∠P，
∴AC=PC；

（2）解：在Rt△OCP中，CP=OC×tan60°=$\sqrt{6}$×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{2}$，
所以圖中陰影部分的面積是：
S=S_△OCP-S_扇形COB
=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{6}$-$\frac{60π×（\sqrt{6}）^{2}}{360}$
=3$\sqrt{3}$-π．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，解直角三角形，扇形的面積的應(yīng)用，能熟記知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．