Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)拋物線的對稱軸是直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)的值最小時，請你求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在；或或或

【解析】

（1）由直線可得B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸求得A點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)拋物線的解析式為，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得a，即可得拋物線的解析式；

（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)得出的值最小時，點(diǎn)為BC的垂直平分線與直線的交點(diǎn)，求得BC垂直平分線的解析式，聯(lián)立直線即可求得點(diǎn)；

（3）分四種情況進(jìn)行討論，設(shè)出N的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，求得N的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，然后聯(lián)立拋物線解析式即可求解．

解：∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

∴當(dāng)y=0時，即，解得：x=4，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

當(dāng)x=0時，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

由二次函數(shù)的對稱性可知：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

∵拋物線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，

∴可設(shè)拋物線的解析式為，

又∵拋物線過點(diǎn)，

∴，解得：，

∴

∴拋物線的解析式為；

（2）如圖1，連結(jié)CM、BM，作線段BC的垂直平分線分別交BC、直線于點(diǎn)，則N為BC中點(diǎn)；

由絕對值的性質(zhì)可得：，

∴當(dāng)的值最小時，即，則此時，

∴點(diǎn)M為與直線的交點(diǎn)，此時與重合，

設(shè)的解析式為：，

∵直線BC的解析式為：，

∴，解得：，則的解析式可化為：，

由得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，

將代入得：

，解得：，

∴，

將代入，得，即，

∴當(dāng)的值最小時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

（3）拋物線上存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似；

∵

∴，，，

∴，，

∵，

∴為直角三角形，，

∵軸，

∴，則，

如圖2所示，分四種情況，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

①當(dāng)點(diǎn)在x軸的上方，要使，則，

則此時點(diǎn)與點(diǎn)C重合，則此時點(diǎn)與點(diǎn)O重合，

則，滿足題意，

∴此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②當(dāng)點(diǎn)在x軸的上方，要使，則，

∴，即，代入拋物線的解析式得：

，化簡得：，

解得：，（不符合題意，故舍去），

將代入拋物線解析式得：，

∴此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；

③當(dāng)點(diǎn)在x軸的下方，要使，則，

∴，即，代入拋物線的解析式得：

，化簡得：，

解得：，（不符合題意，故舍去），

將代入拋物線解析式得：，

∴此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；

④當(dāng)點(diǎn)在x軸的下方，要使，則，

∴，即，代入拋物線的解析式得：

，化簡得：，

解得：，（不符合題意，故舍去），

將代入拋物線解析式得：，

∴此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；

綜上所述，拋物線存在點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或或使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似．