Question

如圖，直線y=-x+1與x軸，y軸分別交于B，A兩點，動點P在線段AB上移動，以P為頂點作∠OPQ=45°交x軸于點Q．
（1）求點A和點B的坐標(biāo)；
（2）比較∠AOP與∠BPQ的大小，說明理由．
（3）是否存在點P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線y=-x+1即可求得A、B的坐標(biāo)；
（2）過P點PE⊥OA交OA于點E，根據(jù)OA=OB，求得△AOB是等腰直角三角形，得出∠OAB=∠OBA=45°，即可求得∠APE=45°，根據(jù)平角的定義即可求得∠OPE+∠BPQ=90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可求得∠AOP=∠BPQ．
（3）假設(shè)存在等腰三角形，分三種情況討論：（�。㏎P=QO；（ⅱ）QP=QO；（ⅲ） 若PO=PQ．能求出P點坐標(biāo)，則存在點P，否則，不存在．

解答：解：（1）∵直線y=-x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點，
令x=0，則y=0+1=1，
∴A（0，1），
令y=0，則0=-x+1，
解得：x=1．
∴B（1，0）．
（2）∠AOP=∠BPQ．
理由如下：
過P點作PE⊥OA交OA于點E，
∵A（0，1），B（1，0）．
∴OA=OB=1，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵PE⊥OA，
∴∠APE=45°，
∵∠OPQ=45°，
∴∠OPE+∠BPQ=90°，
∵∠AOP+∠OPE=90°，
∴∠AOP=∠BPQ．
（2）△OPQ可以是等腰三角形．
理由如下：
如圖，過P點PE⊥OA交OA于點E，

（�。┤鬙P=OQ，
則∠OPQ=∠OQP=∠OPQ，
∴∠POQ=90°，
∴點P與點A重合，
∴點P坐標(biāo)為（0，1），
（ⅱ）若QP=QO，
則∠OPQ=∠QOP=45°，
所以PQ⊥QO，
可設(shè)P（x，x）代入y=-x+1得x=

1

2

，
∴點P坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

），
（ⅲ） 若PO=PQ
∵∠OPQ+∠1=∠2+∠3，
而∠OPQ=∠3=45°，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠4=45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
PB=OA=1，
∴AP=

2

-1
由勾股定理求得PE=AE=1-

2

2

，
∴EO=

2

2

，
∴點P坐標(biāo)為（1-

2

2

，

2

2

），
∴點P坐標(biāo)為（0，1），（

1

2

，

1

2

）或（1-

2

2

，

2

2

）時，△OPQ是等腰三角形．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是要分類討論，同時假設(shè)存在，能求出點的坐標(biāo)，則存在，否則，不存在．