Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=

3

4

x-

3

2

交x軸于點A，交y軸于點B，經過點A的拋物線y=

3

4

x²+bx+c交直線AB另一點D，且點D到y(tǒng)軸的距離為8．
（1）求拋物線解析式；
（2）點P是直線AD上方的拋物線上一動點，（不與點A、D重合），過點P作PE⊥AD于E，過點P作PF∥y軸交AD于F，設△PEF的周長為L，點P的坐標為m，求L與m的函數關系式，并直接寫出自變量m的取值范圍；
（3）在圖（2）的條件下，當L最大時，連接PD．將△PED沿射線PE方向平移，點P、E、F的對應點分別為Q、M、N，當△QMN的頂點M在拋物線上時，求M點的橫坐標，并判斷此時點N是否在直線PF上．
（參考公式：二次函數y=ax²+bx+c（c≠0）．當x=-

b

2a

時，y_{最大（小）值}=

4ac-b2

4a

）

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據題意得出D點坐標，進而利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）利用B（0，-

3

2

），D（-8，-

15

2

），則OB=

3

2

，OC=

15

2

，得出BC=6，設點P與F的橫坐標為m，∠PFE=∠DBC，則P（m，

1

4

m²-

3

4

m+

5

2

），F(xiàn)（m，

3

4

m-

3

2

），由

L

△BCD的周長

=

PF

BD

，求出即可；
（3）利用配方法得出P（-3，

5

2

），PK=

5

2

，PF=

25

4

，則KF=

15

4

，利用△OAB∽△KAF，以及△PEF∽△BCD，進而得出點B，E重合，即可得出M點橫坐標進而得出答案．

解答：解：（1）由題意知：A（2，0），B（0，-

3

2

），
過D作DC⊥y軸于C，則DC=8，
∴點D在y=

3

4

x-

3

2

上，
∴y=

3

4

×（-8）-

3

2

=-

15

2

，
∴D（-8，-

15

2

），
∵點A（2，0），D（-8，-

15

2

）在拋物線上，
∴

0=- 1 4 ×22+2b+c - 15 2 =- 1 4 ×(-8)2-8b+c

，
解得：

b=- 3 4 c= 5 2

，
∴拋物線解析式為：y=-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

；

（2）∵B（0，-

3

2

），D（-8，-

15

2

），
∴OB=

3

2

，OC=

15

2

，
∴BC=6，在Rt△BCD中，BD=10，△BCD的周長為24，
∵PF∥y軸，
∴點P與F的橫坐標為m，∠PFE=∠DBC，
∴P（m，

1

4

m²-

3

4

m+

5

2

），F(xiàn)（m，

3

4

m-

3

2

），
∴PF=-

1

4

m²-

3

2

m+4，
∵PE⊥AD，DC⊥y軸，
∴

L

△BCD的周長

=

PF

BD

，
L=-

3

5

m²-

18

5

m+

48

5

（-8＜m＜2）；

（3）L=-

3

5

m²-

18

5

m+

48

5

=-

3

5

（m+3）²+15，
∵-

3

5

＜0，
∴當m=-3，L最大，
∴P（-3，

5

2

），PK=

5

2

，PF=

25

4

，
∴KF=

15

4

，
∵A（2，0），B（0，-

3

2

），
∴OA=2，OB=

3

2

，
在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=

5

2

，
∵OB∥FK，
∴△OAB∽△KAF，
∴

AB

AF

=

OB

KF

，
∴AF=

25

4

，∴BP=

15

4

，
∵△PEF∽△BCD，
∴

EF

BC

=

PF

BD

，
∴EF=

15

4

，
∴點B，E重合，
∵P（-3，

5

2

），B（0，-

3

2

），
∴直線PB的解析式為：y=-

4

3

x-

3

2

，
則令M點坐標為：（n，-

4

3

n-

3

2

），
點M在拋物線y=-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

上，
∴-

4

3

n-

3

2

=-

1

4

n²-

3

4

n+

5

2

，
整理得：（n+3）（3n-16）=0，
解得；n₁=-3（舍去），n₂=

16

3

，
∴M點橫坐標為：

16

3

，
∵點E的橫坐標為0，M點橫坐標為：

16

3

，
∴△PED向右平移了

16

3

個單位長度，
∴點D也向右平移了

16

3

個單位長度，
∴點N的橫坐標為：-8+

16

3

≠-3，
又∵直線PF上點的橫坐標為：-3，
∴點N不在直線PF上．

點評：此題主要考查了二次函數綜合以及相似三角形的判定與性質以及圖形的平移等知識，得出M點橫坐標是解題關鍵．