Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．

求拋物線的解析式；

若點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，請求出面積的最大值．

在條件下，是否存在這樣的點(diǎn)，使得為等腰三角形？如果有，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）當(dāng)時(shí)，面積取最大值，最大值為．（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為、、、或

【解析】分析：根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

過點(diǎn)E作軸，交BC于點(diǎn)F，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為，進(jìn)而可得出EF的長度，利用三角形的面積公式可得出，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出面積的最大值；

分、、三種情況考慮，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，即可得出關(guān)于m的一元二次或一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

詳解：將、代入，

得：，解得：，

拋物線的解析式為．

過點(diǎn)E作軸，交BC于點(diǎn)F，如圖1所示．

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

設(shè)直線BC的解析式為，

將、代入，得：

，解得：，

直線BC的解析式為．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為，

，

，

當(dāng)時(shí)，面積取最大值，最大值為．

由可知點(diǎn)E的坐標(biāo)為

為等腰三角形分三種情況如圖：

當(dāng)時(shí)，有，

解得：，，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為或；

當(dāng)時(shí)，有，

解得：，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

當(dāng)時(shí)，有，

解得：，，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為或

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為、、、或時(shí)，為等腰三角形．