Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（1.0），C（0， 3）。

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為拋物線在第二象限上的一點(diǎn)，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DE⊥x軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0），

∴可設(shè)拋物線的解析式為：，

      將C點(diǎn)坐標(biāo)（0， 3）代入，得：，解得 。

∴拋物線的解析式為：，即。

       

∴PN=PE﹣NE=（）﹣（）=﹣x²﹣3x。

∵S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN，

∴。

∴當(dāng)x= 時(shí)，S有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）。

（3）在y軸上存在點(diǎn)M，能夠使得△ADE是等腰直角三角形。理由如下：

∵，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1， 4）。

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法的應(yīng)用，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理和逆定理。