Question

【題目】如圖直線(xiàn)l：y＝kx+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣8，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．

（1）求k的值．

（2）若點(diǎn)P是直線(xiàn)l在第二象限內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積為3，求出此時(shí)直線(xiàn)AP的解析式．

（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△BCM為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2）P（﹣4，3）；y＝x+9．（3）（﹣18，0），（﹣，0），（2，0）或（8，0），見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k值；

（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x+6），由S△PAC＝S△BOC﹣S△BAP﹣S△AOC結(jié)合△PAC的面積為3，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出此時(shí)直線(xiàn)AP的解析式；

（3）利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，分CB＝CM，BC＝BM，MB＝MC三種情況考慮：①當(dāng)CB＝CM時(shí)，由OM1＝OB＝8可得出點(diǎn)M1的坐標(biāo)；②當(dāng)BC＝BM時(shí)，由BM2＝BM3＝BC＝10結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)M2，M3的坐標(biāo)；③當(dāng)MB＝MC時(shí)，設(shè)OM＝t，則M4B＝M4C＝8﹣t，利用勾股定理可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出點(diǎn)M4的坐標(biāo)．綜上，此題得解．

（1）∵直線(xiàn)l：y＝kx+6過(guò)點(diǎn)B（﹣8，0），

∴0＝﹣8k+6，

∴k＝．

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x+6＝6，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）．

依照題意畫(huà)出圖形，如圖1所示，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x+6），

∴S△PAC＝S△BOC﹣S△BAP﹣S△AOC，

＝×8×6﹣×2（x+6）﹣×6×6，

＝﹣x＝3，

∴x＝﹣4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，3）．

設(shè)此時(shí)直線(xiàn)AP的解析式為y＝ax+b（a≠0），

將A（﹣6，0），P（﹣4，3）代入y＝ax+b，

得：，解得：，

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，3）時(shí)，△PAC的面積為3，此時(shí)直線(xiàn)AP的解析式為y＝x+9．

（3）在Rt△BOC中，OB＝8，OC＝6，

∴BC＝＝10．

分三種情況考慮（如圖2所示）：

①當(dāng)CB＝CM時(shí)，OM1＝OB＝8，

∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（8，0）；

②當(dāng)BC＝BM時(shí)，BM2＝BM3＝BC＝10，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣8，0），

∴點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)M3的坐標(biāo)為（﹣18，0）；

③當(dāng)MB＝MC時(shí)，設(shè)OM＝t，則M4B＝M4C＝8﹣t，

∴CM42＝OM42+OC2，即（8﹣t）2＝t2+62，

解得：t＝，

∴點(diǎn)M4的坐標(biāo)為（﹣，0）．

綜上所述：在x軸上存在一點(diǎn)M，使得△BCM為等腰三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣18，0），（﹣，0），（2，0）或（8，0）．