Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線CD的垂線，垂足為E （即BE⊥CD），BE交⊙O于點(diǎn)F，且BC平分∠ABE．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若AB=10，CE=4，求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）連結(jié)OC，如圖，先由BC平分∠ABE得的∠1=∠2，加上∠1=∠3，則∠2=∠3，于是可判斷OC∥BE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到OC⊥CD，則可根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）連結(jié)AF，交OC于H，如圖，先證明四邊形CHFE為矩形得到HF=CE=4，CH=EF，OH⊥AF，利用垂徑定理得AH=HF=4，然后在Rt△OAH中根據(jù)勾股定理計(jì)算出OH=3，再計(jì)算出CH的長(zhǎng)，從而得到EF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵BC平分∠ABE，
∴∠1=∠2，
∵OB=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD為⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)AF，交OC于H，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∵∠OCE=∠CEF=90°，
∴四邊形CHFE為矩形，
∴HF=CE=4，CH=EF，OH⊥AF，
∴AH=HF=4，
在Rt△OAH中，∵OA=5，AH=4，
∴OH=

OA2-AH2

=3，
∴CH=OC-OH=5-3=2，
∴EF=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．