Question

13．如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ACB的角平分線分別交AB、BD于M、N兩點(diǎn)，若AM=2，則正方形的邊長為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2+$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 過點(diǎn)M作MF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知FM=BM，再由四邊形ABCD為正方形，可得出∠FAM=45°，在直角三角形中用∠FAM的正弦值即可求出FM的長度，結(jié)合邊的關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答 解：過點(diǎn)M作MF⊥AC于點(diǎn)F，如圖所示．

∵M(jìn)C平分∠ACB，四邊形ABCD為正方形，
∴∠CAB=45°，F(xiàn)M=BM．
在Rt△AFM中，∠AFM=90°，∠FAM=45°，AM=2，
∴FM=AM•sin∠FAM=$\sqrt{2}$．
AB=AM+MB=2+$\sqrt{2}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是在直角三角形中求出FM的長度．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)角平分的性質(zhì)及正方形的特點(diǎn)找出邊角關(guān)系，再利用解直角三角形的方法即可得以解決．