Question

如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn) 重合？

（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？

（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，根據(jù)N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多12cm，列出方程，然后求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長(zhǎng)，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；（3）設(shè)△AMN是等腰三角形，通過證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出CM，NB，NM的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的值即可．

試題解析：

【解析】
（1）設(shè)N與M重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒。由題意，得：x+12=2x解得：x=1 2 ∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12秒時(shí)，N與M重合.

（2） ∵ △ABC是等邊三角形，∴∠A=60 ，當(dāng)AM=AN時(shí)，△AMN為等邊三角形

設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為y秒，則 AN=12-2a ; AM=a，∴ 12-2a = a ∴ a=4

∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)， △AMN為等邊三角形

（3）當(dāng)N與M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖：若CM=NB時(shí)，在△ACM和△ABN中：

∴△ACM≌△ABN（SAS）

∴AM=AN

∴△AMN為等腰三角形

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，∴CM=m-12，NB=36-2m

∵CM=NB

∴m-12=36-2m

∴m=16

∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為16秒時(shí)，△AMN為等腰三角形

 

（1） （2） （3）

考點(diǎn)：1.等邊三角形的性質(zhì)；2.等腰三角形的判定；3.全等三角形的判定與性質(zhì).