Question

【題目】已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、D重合），過點(diǎn)P作PF⊥BD，交射線BC于點(diǎn)F．聯(lián)結(jié)AP，畫∠FPE=∠BAP，PE交BF于點(diǎn)E．設(shè)PD=x，EF=y．

（1）當(dāng)點(diǎn)A、P、F在一條直線上時(shí)，求△ABF的面積；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；

（3）聯(lián)結(jié)PC，若∠FPC=∠BPE，請(qǐng)直接寫出PD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）y=；（3）PD的長(zhǎng)為±1或．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)矩形ABCD ， A、P、F在一條直線上，且PF⊥BD，可得， ，得一，從而可得 ；

（2）先證明∽ ，從而得到 ，由AD//BC ，可得，從而根據(jù)三角函數(shù)可得 ，由得 ，代入，即可得；

（3）分∠CPF的∠FPE的內(nèi)部與外部?jī)煞N情況進(jìn)行討論即可得.

試題解析：（1）∵矩形ABCD ，∴，

∴ ， ∵A、P、F在一條直線上，且PF⊥BD，

∴ ， ∴，

∴，∵，

∴ ， ∴，

∴ ；

（2）∵PF⊥BP ，∴，

∴ ，∵ ，∴，

∴， 又∵∠BAP =∠FPE，

∴∽ ，∴ ，

∵AD//BC ， ∴，

∴ ， 即 ，

∵ ， ∴ ，

∴，

∴；

（3）∠CPF=∠BPE，

①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在CE上時(shí)，

∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，

∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，

∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，

∴△PAB∽△CPD，

∴PB：CD=AB：PD，

∴PB·PD=CD·AB，

∴x（）=2×2，

∴x=；

②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在EC延長(zhǎng)線上時(shí)，

過點(diǎn)P作PN⊥CD于點(diǎn)N，在CD上取一點(diǎn)M，連接PM，使∠MPF=∠CPF，

則有PC：PM=CH：MH，

∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，

∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，

∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，

∵∠ABD=∠BDC，

∴△PAB∽△MPD，

∴PB：MD=AB：PD，

由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，

易得：DN= ，PN= ，CN=2- ，

PH=2x，F(xiàn)H= ，CH=2-x，

由PB：MD=AB：PD可得MD= ，從而可得MN，

在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，

由PC：PM=CH：MH可得PM，

在在Rt△PMN中利用勾股定理可得關(guān)于x 的方程，

解得x= ，

綜上：PD的長(zhǎng)為： 或 .