【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的⊙O,與斜邊AB交于點(diǎn)D、E為BC邊的中點(diǎn),連接DE.

(1)求證:DE是⊙O的切線;

(2)填空:①若∠B=30°,AC=2,則DE=   

②當(dāng)∠B=   °時(shí),以O(shè),D,E,C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形.

【答案】(1)證明就解析;(2)①3;②45.

【解析】試題分析:(1)運(yùn)用垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)證明∠ODE=90°即可解決問題;

(2)①直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BC的長,再利用直角三角形的性質(zhì)得出DE的長;

②當(dāng)∠B=45°時(shí),四邊形ODEC是正方形,由等腰三角形的性質(zhì),得到∠ODA=∠A=45°,于是∠DOC=90°然后根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形,即可得到結(jié)論.

試題解析:(1)連接OD.

∵AC是直徑,∴∠ADC=90°,∴∠CDB=90°,

又∵E為BC邊的中點(diǎn),∴DE為直角△DCB斜邊的中線,∴DE=CE= .∴∠DCE=∠CDE,

∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°,∴∠ODE=90°

∴DE是⊙O的切線.

(2)①∵∠B=30°,AC=2 ,∠BCA=90°,∴tan30°= =,解得:BC=6,

則DE=BC=3;

故答案為:3;

②當(dāng)∠B=45°時(shí),四邊形ODEC是正方形,

∵∠ACB=90°,∴∠A=45°,

∵OA=OD,∴∠ADO=45°,∴∠AOD=90°,∴∠DOC=90°,

∵∠ODE=90°,∴四邊形DECO是矩形,

∵OD=OC,∴矩形DECO是正方形.

故答案為:45.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)【拓展研究】

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