【題目】RtABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD是∠ACB的角平分線,點E,F(xiàn)分別是邊AC, BC上的動點,AC=4,設AE=x,BF=y.

(1)若x+y=3,求四邊形CEDF的面積;

(2)當DEDF時,如圖2,試探索x、y之間的數(shù)量關系.

【答案】(1)S四邊形CEDF= 5;(2)x+y=4.

【解析】

(1)在圖1中,過點DDG⊥AC于點G,DH⊥BC于點H,由∠ACB=90°、AC=BC、CD是∠ACB的角平分線可得出∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°,進而可得出AD=CD=BD,根據(jù)等腰直角三角形的性質可求出DG=DH=2,利用三角形的面積結合S四邊形CEDF=SCDE+SCDF、x+y=3,即可求出四邊形CEDF的面積;

(2)由DE⊥DF、CD⊥AB可得出∠ADE=∠CDF,結合AD=CD、∠A=∠DCF=45°,即可證出△ADE≌△CDF(ASA),根據(jù)全等三角形的性質可得出AE=CF,進而可得出AE+BF=CF+BF=BC,即x+y=4.

(1)在圖1中,過點D作DG⊥AC于點G,DH⊥BC于點H.

∵∠ACB=90°,AC=BC,CD是∠ACB的角平分線,

∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°,

∴AD=CD=BD.

∵在等腰直角三角形ACD中,DG⊥AC,∠A=45°,

∴DG=AG=AC=2,

同理:DH=2.

∵S△CDE=CEDG=4-x,S△CDF=CFDH=4-y,

∴S四邊形CEDF=S△CDE+S△CDF=(4-x)+(4-y)=8-(x+y)=5;

(2)當DE⊥DF時,∠EDF=90°.

∵CD⊥AB,

∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF=90°,

∴∠ADE=∠CDF.

在△ADE與△CDF中,

,

∴△ADE≌△CDF(ASA),

∴AE=CF,

∴AE+BF=CF+BF=BC,即x+y=4.

練習冊系列答案
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1)若AEF=20°,ADE=50°,AC=2,求AB的長度;

2)求證:AE=AF+BC;

3)如圖2,點F是線段BA延長線上一點,探究AE、AF、BC之間的數(shù)量關系,并證明.

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