Question

11．在正方形ABCD中，P是BD上一點，過P引PE⊥BC交BC于E，過P引PF⊥CD于F，求證：AP⊥EF．

Answer 1

分析 延長FP交AB交于G，延長AP交EF于點H，易證△PAG≌△EFP，可求得∠FPH+∠PFH=90°，可證得結(jié)論．

解答 證明：如圖，

延長FP交AB于點G，AP交EF于點H，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠C=∠ABC=90°，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四邊形PECF為矩形，
同理四邊形BCFG也為矩形，
∴PE=FC=GB，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠GBD=45°，
∴PG=BG=PE，
又∵AB=BC=CD，
∴AG=EC=PF，
在△PAG和△EFP中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=PF}\\{∠AGP=∠FPE}\\{PG=PE}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△EFP（SAS），
∴∠APG=∠FEP=∠FPH，
∵∠FEP+∠PFH=90°，
∴∠FPH+∠PFH=90°，
∴AP⊥EF

點評 本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造三角形全等找到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．