Question

如圖①，將四邊形紙片ABCD沿兩組對(duì)邊中點(diǎn)連線剪切為四部分，將這四部分鑲嵌可得到如圖②所示的四邊形O₁O₂O₃O₄．

（1）試判斷四邊形O₁O₂O₃O₄的形狀，并證明．
（2）若要鑲嵌后的平行四邊形O₁O₂O₃O₄為矩形，則四邊形ABCD需要滿足什么條件，并證明．

Answer 1

分析：（1）利用平行四邊形的判定方法得出即可；
（2）首先認(rèn)真讀題，理解題意．密鋪后的平行四邊形成為矩形，必須四個(gè)內(nèi)角均為直角，據(jù)此需要判定中點(diǎn)四邊形EFGH為菱形，進(jìn)而由中位線定理判定四邊形ABCD的對(duì)角線垂直．

解答：解：（1）平行四邊形，
理由：∵將四邊形紙片ABCD沿兩組對(duì)邊中點(diǎn)連線剪切為四部分，將這四部分鑲嵌可得到如圖②所示的四邊形O₁O₂O₃O₄，
∴∠O₁=∠O₃，∠O₂=∠O₄，
∴四邊形O₁O₂O₃O₄是平行四邊形；

（2）對(duì)角線AC=BD時(shí)，密鋪后的平行四邊形為矩形．
理由：根據(jù)密鋪后的平行四邊形成為矩形，必須四個(gè)內(nèi)角均為直角．
如解答圖所示，連接EF、FG、GH、HE，設(shè)EG與HF交于點(diǎn)O，
連接AC、BD，由中位線定理得：EF∥AC∥GH，且EF=GH=

1

2

AC，
EH∥BD∥FG，且EH=FG=

1

2

BD，
∵AC=BD，
∴中點(diǎn)四邊形EFGH為菱形，
∴EG⊥HF，
故要鑲嵌后的平行四邊形O₁O₂O₃O₄為矩形，則四邊形ABCD需要滿足的條件為AC=BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形剪拼與中點(diǎn)四邊形．解題關(guān)鍵是理解三角形中位線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用矩形、菱形等特殊四邊形的判定與性質(zhì)．