Question

【題目】【回顧】

如圖1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，則△ABC的面積等于 ．

【探究】

圖2是同學們熟悉的一副三角尺，一個含有30°的角，較短的直角邊長為a；另一個含有45°的角，直角邊長為b，小明用兩副這樣的三角尺拼成一個平行四邊形ABCD（如圖3），用了兩種不同的方法計算它的面積，從而推出sin75°=，小麗用兩副這樣的三角尺拼成了一個矩形EFGH（如圖4），也推出sin75°=，請你寫出小明或小麗推出sin75°=的具體說理過程．

【應用】

在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如圖5）．

（1）點E在AD上，設t=BE+CE，求t2的最小值；

（2）點F在AB上，將△BCF沿CF翻折，點B落在AD上的點G處，點G是AD的中點嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】【回顧】3；【探究】答案見解析；【應用】（1）86+25；（2）點G不是AD的中點．

【解析】試題分析：回顧：如圖1中，作AH⊥BC．求出AH即可解決問題；

探究：如圖2中，根據(jù)S四邊形ABCD=BCABsin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH列出方程即可解決問題；

應用：（1）作C關于AD的對稱點H，CH交AD于J，連接BH，EH．因為EC=EH，推出EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，推出BE+EC的最小值為BH，求出BH即可解決問題；

（2）結論：點G不是AD的中點．理由反證法證明即可．

試題解析：解：由題意可知四邊形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC=b．

【回顧】如圖1中，作AH⊥BC．

在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，∴AH=ABsin30°=，∴S△ABC=BCAH=×4×=3，故答案為：3．

探究：如圖3中，

由題意可知四邊形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC=b，∵S四邊形ABCD=BCABsin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH

∴b2asin75°=2××a×a+2××b2+（a﹣b）（b﹣a），∴2absin75°=ab+ab，∴sin75°=．

如圖4中，

易知四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=75°，∴S四邊形EFGH=2S△ABE+2S△ADF+S平行四邊形ABCD，∴（a+b）（a+b）═2××a×a+2××b2+b2asin75°，∴sin75°=．

應用：（1）作C關于AD的對稱點H，CH交AD于J，連接BH，EH．

在Rt△DCJ中，JC=CDsin75°=，∴CH=2CJ=，在Rt△BHC中，BH2=BC2+CH2=36+=86+25，∵EC=EH，∴EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，∴BE+EC的最小值為BH，∴t=BE+CE，t2的最小值為BH2，即為86+25．

（2）結論：點G不是AD的中點．

理由：作CJ⊥AD于J，DH⊥CG于H．

不妨設AG=GD=5，∵CD=5，∴DC=DG，∵DH⊥CG，∴GH=CH=3，在Rt△CDH中，DH= ==4，∵S△DGC=CGDH=DGCJ，∴CJ=，∴sin∠CDJ=，∵∠CDJ=75°，∴與sin75°=矛盾，∴假設不成立，∴點G不是AD的中點．