Question

如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，AC為⊙O的直徑，PO交于⊙O于點(diǎn)E．
（1）試判斷∠APB與∠BAC的數(shù)量關(guān)系；
（2）若⊙O的半徑為4，P是⊙O外一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PAOB為正方形？若存在，請(qǐng)求出PO的長(zhǎng)，并判斷點(diǎn)P的個(gè)數(shù)及其滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,正方形的判定

專題：

分析：（1）連接BA，如圖1，先根據(jù)切線的性質(zhì)得∴∠OAP=∠OBP=90°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠APB+∠AOB=180°，而∠AOB+∠BOC=180°，則∠BOC=∠APB，利用三角形外角性質(zhì)得∠BOC=2∠BAC，所以∠APB=2∠BAC，
（2）由PA、PB為⊙O的切線得∠OAP=∠OBP=90°，所以當(dāng)OA⊥OB時(shí)，四邊形PAOB為矩形，加上OA=OB，于是可判斷四邊形PAOB為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得OP=

2

OA=4

2

；由此得到這樣的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)，當(dāng)點(diǎn)P在以O(shè)點(diǎn)為圓心，4

2

為半徑的圓上時(shí)，四邊形PAOB為正方形．

解答：解：（1）連接BA，如圖1，
∵PA、PB為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠APB+∠AOB=180°，
而∠AOB+∠BOC=180°，
∴∠BOC=∠APB，
∵∠BOC=∠OAB+∠OBA，
而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠BOC=2∠BAC，
∴∠APB=2∠BAC；
（2）存在．
∵PA、PB為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴OA⊥OB時(shí)，四邊形PAOB為矩形，
而OA=OB，
∴四邊形PAOB為正方形，
∴OP=

2

OA=4

2

；
這樣的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)，當(dāng)點(diǎn)P在以O(shè)點(diǎn)為圓心，4

2

為半徑的圓上時(shí)，四邊形PAOB為正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了正方形的判定．