Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N，連接OM、ON、MN．若∠MON=45°，MN=2，則反比例函數(shù)的解析式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：由反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N，易證得CN=AM，即可得△OAN≌△OAM，可得ON=OM，然后設(shè)作NE⊥OM于E點(diǎn)，易得△ONE為等腰直角三角形，設(shè)NE=x，則ON=

2

x，由勾股定理可求得x的值，繼而可設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a，則OC=a，CN=a-

2

，則可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，繼而求得答案．

解答：解：∵點(diǎn)M、N都在y=

k

x

的圖象上，
∴S_△ONC=S_△OAM=

1

2

k，即

1

2

OC•NC=

1

2

OA•AM，
∵四邊形ABCO為正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
在△OCN和△OAM中，

OC=OA ∠OCN=∠OAM CN=AM

，
∴△OCN≌△OAM（SAS）；
∴ON=OM，
作NE⊥OM于E點(diǎn)，如圖，
∵∠MON=45°，
∴△ONE為等腰直角三角形，
∴NE=OE，
設(shè)NE=x，則ON=

2

x，
∴OM=

2

x，
∴EM=

2

x-x=（

2

-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵M(jìn)N²=NE²+EM²，即2²=x²+[（

2

-1）x]²，
∴x²=2+

2

，
∴ON²=（

2

x）²=4+2

2

，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN為等腰直角三角形，
∴BN=

2

2

MN=

2

，
設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a，則OC=a，CN=a-

2

，
∵在Rt△OCN中，OC²+CN²=ON²，
∴a²+（a-

2

）²=4+2

2

，
解得a₁=

2

+1，a₂=-1（舍去），
∴OC=

2

+1，
∴BC=OC=

2

+1，
∴CN=BC-BN=1，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

2

+1），
將點(diǎn)N代入反比例函數(shù)y=

k

x

，得：k=

2

+1，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

2 +1

x

．
故答案為：y=

2 +1

x

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和正方形的性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算．