Question

已知一次函數(shù)y₁=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=的圖象相交于A、B兩點，坐標分別為（-2，4）、（4，-2）．
（1）求兩個函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）直線AB上是否存在一點P（A除外），使△ABO與以B﹑P、O為頂點的三角形相似？若存在，直接寫出頂點P的坐標．

Answer 1

解：（1）把（-2，4）、（4，-2）代入y₁=ax+b，解得，
所以一次函數(shù)的解析式為y=-x+2；
把（-2，4）代入反比例函數(shù)y₂=得k=-2×4=-8，
所以反比例函數(shù)解析式為y=-；

（2）設(shè)直線AB與y軸交于C點，則C點坐標為（0，2），如圖，
S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC
=×2×2+×2×4
=6；

（3）∵OA==2，OB==2
∴△ABO為等腰三角形，
∵△ABO與以B﹑P、O為頂點的三角形相似，
而OB為公共邊，
∴當PO=PB時，△POB∽△OAB，
設(shè)P點坐標為（x，-x+2），
∴PO²=x²+（-x+2）²，PB²=（4-x）²+（-x+2+2）²，
∴x²+（-x+2）²=（4-x）²+（-x+2+2）²，
∴x=，
∴y=-x+2=-+2=-，
∴C點坐標為（，-）．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)直線AB與y軸交于C點，則C點坐標為（0，2），然后利用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC進行計算；
（3）通過計算得到OA==2，OB==2，則△ABO為等腰三角形，若△ABO與以B﹑P、O為頂點的三角形相似，于是要有PO=PB，利用勾股定理可得
x²+（-x+2）²=（4-x）²+（-x+2+2）²，解方程求出x，然后把x的值代入y=-x+2求出對應(yīng)的函數(shù)值即可得到P點坐標．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式，運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；掌握三角形相似的判定與性質(zhì)和勾股定理．