Question

已知，一次函數(shù)y=x+m-2與二次函數(shù)y=x²-2的圖象從左至右的交點依次為點B、A．
（1）求m的取值范圍．
（2）若點A、B的橫坐標之差為3，此二次函數(shù)圖象的頂點為C，證明△ABC為直角三角形．
（3）若△ABC的外接圓為⊙I，求過點B的⊙I的切線的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得到關于x的方程x+m-2=x²-2有兩個不相等的實數(shù)根，即△＞0，即，△=1+4m＞0，解不等式即可確定m的取值范圍；
（2）設點A、B的橫坐標分別為x₁，x₂，則為x₁-x₂=3，則（x₁-x₂）²=9，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系有x₁+x₂=1，x₁•x₂=-m，得到1+4m=9，解得m=2，
解方程x²-x-2=0得x₁=2，x₂=-1，則A點坐標為（2，2），B點坐標為（-1，-1），且C點坐標為（0，-2），利用勾股定理可計算出BC=

2

，AB=3

2

，AC=2

5

，
則有BC²+AB²=AC²，即可得到結論；
（3）AC為Rt△ABC的斜邊，并且AC與x軸的交點（1，0）為AC的中點，則△ABC的外接圓⊙I的圓心I的坐標為（1，0），⊙I與y軸的另一個交點為E，由垂徑定理可得點E與C關于x軸對稱，所以E點坐標為（0，2），連IB，EB，過B點作IB的垂線交y軸于P點，BQ⊥y軸于Q；利用等角的余角線段得∠ABI=∠PBC，根據(jù)圓周角定理易得
∠ABI=∠BAI=∠BEC，則∠PBC=∠BEC，于是△PBC∽△PEB，得PB：PE=PC：PB，即PB²=PE•PC，設P（0，y），則EP=2-y，CP=-2-y，QP=-1-y，1+（-1-y）²=（2-y）（-2-y），解得y=-3，得到P點坐標為（0，-3），然后利用待定系數(shù)法確定直線BP的解析式．

解答：（1）解：∵一次函數(shù)y=x+m-2與二次函數(shù)y=x²-2的圖象有兩個交點，
∴關于x的方程x+m-2=x²-2有兩個不相等的實數(shù)根，即△＞0，
方程變形為x²-x-m=0，△=1+4m＞0，解得m＞-

1

4

，
即m的取值范圍為m＞-

1

4

；

（2）證明：設點A、B的橫坐標分別為x₁，x₂，則為x₁-x₂=3，
∴（x₁-x₂）²=9，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9，
對于x²-x-m=0，x₁+x₂=1，x₁•x₂=-m，
∴1+4m=9，解得m=2，
∴x²-x-2=0，解此方程得x₁=2，x₂=-1，
當x=2，則y=4-2=2；當x=-1，則y=1-2=-1，
∴A點坐標為（2，2），B點坐標為（-1，-1），如圖，C點坐標為（0，-2），
BC=

2

，AB=3

2

，AC=2

5

，
∴BC²+AB²=AC²，
∴△ABC為直角三角形；

（3）解：∵AC為Rt△ABC的斜邊，并且AC與x軸的交點（1，0）為AC的中點，
∴△ABC的外接圓⊙I的圓心I的坐標為（1，0），
⊙I與y軸的另一個交點為E，則點E與C關于x軸對稱，所以E點坐標為（0，2），
連IB，EB，過B點作IB的垂線交y軸于P點，BQ⊥y軸于Q，
∵∠ABC=90°，∠IBP=90°，
∴∠ABI=∠PBC，
而∠ABI=∠BAI=∠BEC，
∴∠PBC=∠BEC，
∴△PBC∽△PEB，
∴PB：PE=PC：PB，即PB²=PE•PC，
設P（0，y），則EP=2-y，CP=-2-y，QP=-1-y，
∴1+（-1-y）²=（2-y）（-2-y），
解得y=-3，
∴P點坐標為（0，-3），
設直線PB的解析式為y=kx+b，把B（-1，-1）、P（0，-3）代入得，-k+b=-1，b=-3，
解得k=-2，b=-3，
∴過點B的⊙I的切線的解析式為y=-2x-3．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：運用一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關系確定直線與二次函數(shù)圖形的交點坐標，由坐標有關計算線段的長來判斷幾何圖形的性質；同時運用了直角三角形的性質和圓的切線性質以及三角形相似的判定與性質．