Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A= ，BD是AC邊上的中線．求：

（1）△ABC的面積；
（2）∠ABD的余切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB與點(diǎn)E，

∴BE=BCcos∠ABC=8× =4 ，

CE=BCsin∠ABC=8× =4，

在Rt△ACE中，∵sin∠A= ，

∴AC= = =4 ，

∴AE= = =8，

則AB=AE+BE=8+4 ，

故S△ABC= ABCE= ×（8+4 ）×4=16+8

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB與點(diǎn)H，

∵CE⊥AB，

∴DH∥CE，

又∵D是AC中點(diǎn)，

∴AH=HE= AE=4，DH= CE=2，

∴在Rt△BDH中，cot∠ABD= = =2 +2

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB與點(diǎn)E，在Rt△BCE中，∵BC=8，∠ABC=30°， 解Rt△BCE得出，BE=BCcos∠ABC，CE=BCsin∠ABC，在Rt△ACE中，由sin∠A的值表示出AC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得出AE的長(zhǎng)，從而得出S△ABC；（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB與點(diǎn)H，根據(jù)平行線的判定得出DH∥CE，再根據(jù)中位線得判定得出AH=HE =4，DH =2，在Rt△BDH中，得出cot∠ABD的值。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的判定與性質(zhì)和三角形中位線定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．