【題目】問(wèn)題背景:

如圖1,在四邊形ABCD中,ABAD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,EF分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=60°,探究圖中線段BEEF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DGBE,連結(jié)AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是__________________;

探索延伸:

如圖2,若在四邊形ABCD中,ABAD,BD=180°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAFBAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由;

結(jié)論應(yīng)用:

如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O)北偏西30°A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以50海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn),1.5小時(shí)后,指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)EF處,且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

能力提高:

如圖4,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,ABAC,點(diǎn)M,N在邊BC上,且∠MAN=45°.若BM=5,CN=12,則MN的長(zhǎng)為_________(直接寫(xiě)出答案)

【答案】BE+DF=EF13

【解析】

旋轉(zhuǎn)求解即可.

問(wèn)題背景:EF=BE+DF;

探索延伸:EF=BE+DF仍然成立.

證明如下:如圖,延長(zhǎng)FD到G,使DG=BE,連接AG,

∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,

∴∠B=∠ADG,

在△ABE和△ADG中,

∴△ABE≌△ADG(SAS),

∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,

∵∠EAF=∠BAD,

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,

∴∠EAF=∠GAF,

在△AEF和△GAF中,

,

∴△AEF≌△GAF(SAS),

∴EF=FG,

∵FG=DG+DF=BE+DF,

∴EF=BE+DF;

實(shí)際應(yīng)用:如圖,連接EF,延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C,

∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°,

∠EOF=70°,

∴∠EAF=∠AOB,

又∵OA=OB,

∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°,

∴符合探索延伸中的條件,

∴結(jié)論EF=AE+BF成立,

即EF=1.5×(50+60)=165海里.

答:此時(shí)兩艦艇之間的距離是165海里.

能力提高:MN=13.

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