Question

20．已知拋物線y=ax²-2ax-3a交x軸于A、B兩點（A左B右），交y軸于點C，點D在拋物線上，CD∥x軸，將射線AD沿x軸翻折后交拋物線于點E．
（1）如圖1，求線段AB的長；
（2）如圖2，若AE=AD+2$\sqrt{2}$，求拋物線解析式；
（3）在（2）的條件下，延長EA交直線CD于點M，點P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，直線AP交直線CD于點N，當S_△PMN=S_△DAN時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出點A，B的坐標，從而求出AB的長；
（2）先用三角函數(shù)tan∠EAG=$\frac{EG}{AG}$=$\frac{a（m+1）（m-3）}{m+1}$=a（m-3），tan∠ADG=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{3a}{3}$=a，由∠FDA=∠BAD=∠EAG，建立方程a（m-3）=a，求出m；
（3）先求出PK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ （-t²+3t+4），從而得出S_△DAM=9，再分兩種情況進行計算．

解答 解：（1）當y=0時，x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
∴AB=4，
（2）如圖1，

過A作AF⊥直線CD于點F，過E作EG⊥直線x軸于點G，
∴對稱軸為直線x=1，
∵CD∥x軸，
∴D（2，-3a），
∴DF=3，
設E[m，a（m+1）（m-3）]，
tan∠EAG=$\frac{EG}{AG}$=$\frac{a（m+1）（m-3）}{m+1}$=a（m-3），
tan∠ADF=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{3a}{3}$=a，
∵∠FDA=∠BAD=∠EAG，
∴a（m-3）=a，
∴m=4，
∴AG=5，
∴3AE=5AD，
∵AE=AD+2$\sqrt{2}$，
∴AD=3$\sqrt{2}$，
∴AF=3=3a，
∴a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（3）如圖2，

過P作PH⊥X軸交AE于點H，過P作PK⊥直線AE于點E，
∴直線AE的解析式為y=x+1，
設P（t，t²-2t-3），
則PH=t+1-（ t²-2t-3）=-t²+3t+4，
由（2）EG=AG=5，
∴∠AEG=45°=∠KHP，
∴PK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ （-t²+3t+4），
∵△AMD為等腰直角三角形，
∴AM=AD=3$\sqrt{2}$，
∴S_△DAM=9，
情況一：當P₁在CD下方時，
∵S_△PMN=S_△DAN，
∴S_△PMA=S_△DAM，
∴AM×P₁K=18，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$ （-t²+3t+4）×3$\sqrt{2}$=18，
 解得t₁=1，t₂=2（舍），
∴P（1，-4）；
情況二：當P₂在CD上方時，同同情況一可得
∴S_△PMA=S_△DAM，
∴t₃=1，t₄=2（舍）
∴滿足條件的點P為P（1，-4）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了求坐標交點坐標，三角形的面積的計算方法，銳角三角函數(shù)的意義，解本題的關鍵是用三角函數(shù)值相等建立方程．