【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)B-20),點(diǎn)C8,0),與y軸交于點(diǎn)A

1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達(dá)式;

2)連接ACAB,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(不與點(diǎn)BC重合),過點(diǎn)NNM∥AC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)△AMN面積最大時(shí),求N點(diǎn)的坐標(biāo);

3)連接OM,在(2)的結(jié)論下,求OMAC的數(shù)量關(guān)系.

【答案】1y=﹣x2+x+4;(2N3,0);(3OM=AC

【解析】試題分析:(1)由B、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

2)可設(shè)Nn,0),則可用n表示出△ABN的面積,由NM∥AC,可求得,則可用n表示出△AMN的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時(shí)n的值,即可求得N點(diǎn)的坐標(biāo);

3)由N點(diǎn)坐標(biāo)可求得M點(diǎn)為AB的中點(diǎn),由直角三角形的性質(zhì)可得OM=AB,在Rt△AOBRt△AOC中,可分別求得ABAC的長,可求得ABAC的關(guān)系,從而可得到OMAC的數(shù)量關(guān)系.

試題解析:(1)將點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+4可得

解得,

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+x+4;

2)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0)(﹣2n8),

BN=n+2,CN=8﹣n

∵B﹣2,0),C80),

∴BC=10,

y=﹣x2+x+4中,令x=0,可解得y=4

點(diǎn)A0,4),OA=4,

∴SABN=BNOA=n+2×4=2n+2),

∵M(jìn)N∥AC,

∵﹣0,

當(dāng)n=3時(shí),即N3,0)時(shí),△AMN的面積最大;

3)當(dāng)N3,0)時(shí),NBC邊點(diǎn),

∵M(jìn)N∥AC

∴MAB邊中點(diǎn),

∴OM=AB

∵AB=,AC=,

∴AB=AC,

∴OM=AC

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