Question

如圖，已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2

3

），（-1，0），（3，0），點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A、C不重合），連接PB、PD，則△PBD周長(zhǎng)的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出BC的長(zhǎng)度，再求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，從而判斷出AD⊥BC，解直角三角形求出∠ACD=60°，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接BD′與AC相交于點(diǎn)P，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥x軸于E，利用直角三角形兩銳角互余求出∠D′DC=30°，然后求出DD′，再求出D′E、DE，然后求出BE，利用勾股定理列式計(jì)算求出BD′，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：∵B（-1，0），C（3，0），
∴BC=3-（-1）=4，
∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），
∴AD⊥BC，
∵tan∠ACD=

AD

CD

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ACD=60°，
作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接BD′與AC相交于點(diǎn)P，
則點(diǎn)P即為△PBD周長(zhǎng)的最小值時(shí)的點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥x軸于E，則∠D′DC=90°-60°=30°，
DD′=2•CDcos∠D′DC=2×2×cos30°=2×2×

3

2

=2

3

，
D′E=DD′sin∠D′DC=2

3

×sin30°=2

3

×

1

2

=

3

，
DE=DD′cos∠D′DC=2

3

×cos30°=2

3

×

3

2

=3，
∴BE=2+3=5，
在Rt△BD′E中，BD′=

BE2+D′E2

=

52+( 3 )2

=2

7

，
∴△PBD周長(zhǎng)的最小值是2

7

+2．
故答案為：2

7

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)的方法是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．