【題目】綜合探究
已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3,與x軸相交于A,B兩點(點B在點A右側(cè)),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式和A,B兩點的坐標(biāo);
(2)如圖1,若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點(不與B、C重合),是否存在點P,使四邊形PBOC的面積最大?若存在,求點P的坐標(biāo)及四邊形PBOC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,若點M是拋物線上任意一點,過點M作y軸的平行線,交直線BC于點N,當(dāng)MN=3時,直接寫出點M的坐標(biāo).
【答案】(1)拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+4;點A的坐標(biāo)為(﹣2,0),點B的坐標(biāo)為(8,0)(2)存在點P(4,6),使得四邊形PBOC的面積最大;點P的坐標(biāo)為(4,6),四邊形PBOC面積的最大值為32(3)點M的坐標(biāo)為(2,6)、(6,4)、(4﹣2,﹣1)或(4+2,﹣﹣1)
【解析】
(1)根據(jù)拋物線的對稱軸方程,即可得到a的值,從而得到函數(shù)解析式,進(jìn)而求出A,B的值;
(2)根據(jù)待定系數(shù)法,求出直線BC的解析式,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,﹣x2+x+4),過點P作PD∥y軸,交直線BC于點D,則點D的坐標(biāo)為(x,﹣x+4),進(jìn)而求出PD的值,根據(jù)S四邊形PBOC=S△BOC+S△PBC,得到二次函數(shù)解析式,即可得到答案;
(3)設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,﹣m2+m+4),則點N的坐標(biāo)為(m,﹣m+4),則MN=|﹣m2+2m |,根據(jù)MN=3,列出關(guān)于m的方程,即可求解.
(1)∵ 拋物線的對稱軸是:直線x=3,
∴ =3,解得:a=﹣,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+4.
當(dāng)y=0時,﹣x2+x+4=0,解得x1=﹣2,x2=8,
∴點A的坐標(biāo)為(﹣2,0),點B的坐標(biāo)為(8,0);
(2)當(dāng)x=0時,y=﹣x2+x+4=4,
∴點C的坐標(biāo)為(0,4).
設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b(k≠0),
將B(8,0),C(0,4)代入y=kx+b得:,解得:,
∴直線BC的解析式為:y=﹣x+4.
假設(shè)存在點P,使四邊形PBOC的面積最大,
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,﹣x2+x+4),如圖1,
過點P作PD∥y軸,交直線BC于點D,則點D的坐標(biāo)為(x,﹣x+4),
∴PD=﹣x2+x+4﹣(﹣x+4)=﹣x2+2x,
∴S四邊形PBOC=S△BOC+S△PBC=×8×4+PDOB
=16+×8(﹣x2+2x)=﹣x2+8x+16
=﹣(x﹣4)2+32
∴當(dāng)x=4時,四邊形PBOC的面積最大,最大值是32.
∵0<x<8,
∴存在點P(4,6),使得四邊形PBOC的面積最大,四邊形PBOC面積的最大值為32.
(3)設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,﹣m2+m+4),則點N的坐標(biāo)為(m,﹣m+4),如圖2,
∴MN=|﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)|=|﹣m2+2m |,
又∵ MN=3,
∴ |﹣m2+2m |=3,
當(dāng)0<m<8時,﹣m2+2m﹣3=0,解得:m1=2,m2=6,
∴點M的坐標(biāo)為(2,6)或(6,4);
當(dāng)m<0或m>8時,﹣m2+2m +3=0,解得:m3=4﹣2,m4=4+2,
∴點M的坐標(biāo)為(4﹣2,﹣1)或(4+2,﹣﹣1).
答:點M的坐標(biāo)為(2,6)、(6,4)、(4﹣2,﹣1)或(4+2,﹣﹣1).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是一張直角三角形紙片,其中,,小亮將它繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到,交直線于點.
(1)如圖1,當(dāng)時,所在直線與線段有怎樣的位置關(guān)系?請說明理由.
(2)如圖2,當(dāng),求為等腰三角形時的度數(shù).
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【題目】如圖,⊙為的外接圓,,過點的切線與的延長線交于點,交于點,.
(1)判斷與的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有一個,頂點的坐標(biāo)分別是.將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到,請在平面直角坐標(biāo)系中作出,并寫出的頂點坐標(biāo).
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【題目】在中,.
(1)如圖①,點在斜邊上,以點為圓心,長為半徑的圓交于點,交于點,與邊相切于點.求證:;
(2)在圖②中作,使它滿足以下條件:
①圓心在邊上;②經(jīng)過點;③與邊相切.
(尺規(guī)作圖,只保留作圖痕跡,不要求寫出作法)
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【題目】如圖,直線的解析表達(dá)式為,且與軸交于點,直線經(jīng)過點,直線,交于點.
(1)求點的坐標(biāo);
(2)求直線的解析表達(dá)式;
(3)求的面積。
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【題目】如圖,小宋作出了邊長為2的第一個正方形A1B1C1D1,算出了它的面積.然后分別取正方形A1B1C1D1四邊的中點A2、B2、C2、D2作出了第二個正方形A2B2C2D2,算出了它的面積.用同樣的方法,作出了第三個正方形A3B3C3D3,算出了它的面積…,由此可得,第六個正方形A6B6C6D6的面積是( 。
A.B.C.D.
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【題目】某中學(xué)選拔一名青年志愿者:經(jīng)筆試、面試,結(jié)果小明和小麗并列第一.評委會決定通過抓球來確定人選.規(guī)則如下:在不透明的布袋里裝有除顏色之外均相同的2個紅球和1個綠球,小明先取出一個球,記住顏色后放回,然后小麗再取出一個球.若兩次取出的球都是紅球,則小明勝出;若兩次取出的球是一紅一綠,則小麗勝出.你認(rèn)為這個規(guī)則對雙方公平嗎?請用列表法或畫樹狀圖的方法進(jìn)行分析.
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