Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3），動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA，BC方向運(yùn)動(dòng)，速度都是1厘米/秒，過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求時(shí)間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某個(gè)時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，當(dāng)t=1秒時(shí)，BN=BM=1，又因?yàn)镻M⊥BC，所以△APM∽△ANB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以求出PM的值．
（2）根據(jù)題意，作出圖形，當(dāng)△PNB∽△PAD時(shí)，對(duì)應(yīng)邊之比等于高之比，即，進(jìn)而可以求出時(shí)間t．
（3）設(shè)BN=x，則0≤x≤3，則BM=x，再用x表示出PM，就可以用x表達(dá)出兩個(gè)梯形的面積，求出x的值，進(jìn)而求出a的取值．
解答：解：（1）由題意知，當(dāng)t=1秒時(shí)，BN=BM=1，
∵a=4厘米，∴AM=3，
又∵PM⊥AB，
∴△APM∽△ANB，
∴，
即，
解得，PM=；

（2）如圖示，作出△PNB和△PAD，則BM和AM分別是它們的高，
若△PNB∽△PAD，則，即，解得，t=2．
即t=2時(shí)，△PNB∽△PAD，相似比為．

（3）設(shè)BN=x，則0≤x≤3，則BM=x，
由（1）知，△APM∽△ANB，∴，∴，
∴，
所以由題意得，=，
解得x=，所以0≤≤3，解得0≤a≤6．
又∵a＞3，
∴a的范圍是3＜a≤6．

補(bǔ)充：設(shè)BN=BM=x，則PM=，
使梯形PMBN和梯形PQDN面積相等，由（3）得3＜a≤6；
若它們的面積都等于梯形PQCN的面積，
∴S_梯形PMBN=S_矩形BCQM
即[+x]•t=•3•t，
解得t=a，a＞3，
∴t=a，
而0≤t≤3，
∴a＞3，
所以a的范圍是3＜a≤6．
點(diǎn)評(píng)：能夠利用平行線判定相似三角形，并且利用相似的性質(zhì)列出比例式是解題的關(guān)鍵．