Question

如圖，線(xiàn)段AB=1，點(diǎn)P₁是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)（AP₁＜BP₁），點(diǎn)P₂是線(xiàn)段AP₁的黃金分割點(diǎn)（AP₂＜P₁P₂），點(diǎn)P₃是線(xiàn)段AP₂的黃金分割點(diǎn)（AP₃＜P₂P₃），…，依此類(lèi)推，則線(xiàn)段AP₂₀₁₄的長(zhǎng)度是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：黃金分割

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：根據(jù)黃金分割的定義得到BP₁=

5 -1

2

AB，則AP₁=AB-

5 -1

2

AB=

3- 5

2

，則利用同樣的方法得到AP₂=（

3- 5

2

）²，AP₃=（

3- 5

2

）³，由此可歸納出
線(xiàn)段AP₂₀₁₄的長(zhǎng)度．

解答：解：∵點(diǎn)P₁是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)（AP₁＜BP₁），
∴BP₁=

5 -1

2

AB，
∴AP₁=AB-

5 -1

2

AB=

3- 5

2

AB=

3- 5

2

；
∵點(diǎn)P₂是線(xiàn)段AP₁的黃金分割點(diǎn)（AP₂＜P₁P₂），
∴AP₂=

3- 5

2

AP₁=（

3- 5

2

）²，
同理可得AP₃=（

3- 5

2

）³，
∴AP₂₀₁₄=（

3- 5

2

）²⁰¹⁴．
故答案為（

3- 5

2

）²⁰¹⁴．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割：把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線(xiàn)段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．