Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，點E在AD邊上，且AE=4，EF⊥BE交CD于點F．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形的性質可得∠A=∠D=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用兩角對應相等，兩三角形相似證明；
（2）利用勾股定理列式求出BE，再求出DE，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可．
解答：（1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵AB=3，AE=4，
∴BE===5，
∵AD=6，AE=4，
∴DE=AD-AE=6-4=2，
∵△ABE∽△DEF，
∴=，
即=，
解得EF=．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，利用同角的余角相等求出相等的銳角是證明三角形相似的關鍵．